Quelle est l'intersection de la droite \Delta et du plan P avec :
\Delta:\begin{cases} x=t+1 \cr \cr y=-2t \cr \cr z=3t-1\end{cases}, t\in\mathbb{R}
P:2x-y+z+1=0
Pour déterminer l'intersection de \Delta et de P, on résout le système :
\begin{cases} x=t+1 \cr \cr y=-2t \cr \cr z=3t-1 \cr \cr 2x-y+z+1=0 \end{cases}
On remplace les expressions de x, y et z dans la dernière ligne :
\begin{cases} x=t+1 \cr \cr y=-2t \cr \cr z=3t-1 \cr \cr 2\left(t+1\right)-\left(-2t\right)+\left(3t-1\right)+1=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=t+1 \cr \cr y=-2t \cr \cr z=3t-1 \cr \cr 2t+2+2t+3t-1+1=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=t+1 \cr \cr y=-2t \cr \cr z=3t-1 \cr \cr 7t=-2 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=t+1 \cr \cr y=-2t \cr \cr z=3t-1 \cr \cr t=-\dfrac{2}{7} \end{cases}
On obtient alors les valeurs de x, y et z :
\begin{cases} x=\dfrac{5}{7} \cr \cr y=\dfrac{4}{7} \cr \cr z=-\dfrac{13}{7} \end{cases}
L'intersection du plan P et de la droite \Delta est le point A\left(\dfrac{5}{7};\dfrac{4}{7};-\dfrac{13}{7}\right).
Quelle est l'intersection de la droite \Delta et du plan P avec :
\Delta:\begin{cases} x=-1-t \cr \cr y=4+t \cr \cr z=-2+2t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
P: 2x-3y+z+12=0
Pour déterminer l'intersection de \Delta et de P, on résout le système :
\begin{cases} x=-1-t \cr \cr y=4+t \cr \cr z=-2+2t \cr \cr 2x-3y+z+12=0 \end{cases}
On remplace les expressions de x, y et z dans la dernière ligne :
\begin{cases} x=-1-t \cr \cr y=4+t \cr \cr z=-2+2t \cr \cr 2\left(-1-t\right) -3\left(4+t\right) +\left(-2+2t\right)+12=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-1-t \cr \cr y=4+t \cr \cr z=-2+2t \cr \cr -2-2t-12-3t-2+2t+12=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-1-t \cr \cr y=4+t \cr \cr z=-2+2t \cr \cr 3t=-4 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-1-t \cr \cr y=4+t \cr \cr z=-2+2t \cr \cr t=-\dfrac{4}{3} \end{cases}
On obtient alors les valeurs de x, y et z :
\begin{cases} x=\dfrac{1}{3} \cr \cr y=\dfrac{8}{3} \cr \cr z=-\dfrac{14}{3} \end{cases}
L'intersection du plan P et de la droite \Delta est le point A\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3};-\dfrac{14}{3}\right).
Quelle est l'intersection de la droite \Delta et du plan P avec :
\Delta:\begin{cases} x=2+t \cr \cr y=3-2t \cr \cr z=-5-3t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
P: x-y+z+8=0
Pour déterminer l'intersection de \Delta et de P, on résout le système :
\begin{cases} x=2+t \cr \cr y=3-2t \cr \cr z=-5-3t \cr \cr x-y+z+8=0 \end{cases}
On remplace les expressions de x, y et z dans la dernière ligne :
\begin{cases} x=2+t \cr \cr y=3-2t \cr \cr z=-5-3t \cr \cr \left(2+t\right)-\left(3-2t\right)+\left(-5-3t\right)+8=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=2+t \cr \cr y=3-2t \cr \cr z=-5-3t \cr \cr 2+t-3+2t-5-3t+8=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=2+t \cr \cr y=3-2t \cr \cr z=-5-3t \cr \cr 2=0 \end{cases}
Or, 2≠0 dont le système est impossible.
Le plan P et la droite \Delta ne se coupent pas et sont parallèles.
Quelle est l'intersection de la droite \Delta et du plan P avec :
\Delta:\begin{cases} x=-1+2t \cr \cr y=1+2t \cr \cr z=2+3t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
P: -x+4y-2z+2=0
Pour déterminer l'intersection de \Delta et de P, on résout le système :
\begin{cases} x=-1+2t \cr \cr y=1+2t \cr \cr z=2+3t \cr \cr -x+4y-2z+2=0 \end{cases}
On remplace les expressions de x, y et z dans la dernière ligne :
\begin{cases} x=-1+2t \cr \cr y=1+2t \cr \cr z=2+3t \cr \cr -x+4y-2z+2=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-1+2t \cr \cr y=1+2t \cr \cr z=2+3t \cr \cr -\left(-1+2t\right)+4\left(1+2t\right)-2\left(2+3t\right)+2=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-1+2t \cr \cr y=1+2t \cr \cr z=2+3t \cr \cr 1-2t+4+8t-4-6t+2=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-1+2t \cr \cr y=1+2t \cr \cr z=2+3t \cr \cr 3=0 \end{cases}
Or, 3≠0 donc le système est impossible.
Le plan P et la droite \Delta ne se coupent pas et sont parallèles.
Quelle est l'intersection de la droite \Delta et du plan P avec :
\Delta:\begin{cases} x=5-4t \cr \cr y=-2+t \cr \cr z=-2-3t\end{cases}, t\in\mathbb{R}
P:3x-y+2z+6=0
Pour déterminer l'intersection de \Delta et de P, on résout le système :
\begin{cases} x=5-4t \cr \cr y=-2+t \cr \cr z=-2-3t \cr \cr 3x-y+2z+6=0 \end{cases}
On remplace les expressions de x, y et z dans la dernière ligne :
\begin{cases} x=5-4t \cr \cr y=-2+t \cr \cr z=-2-3t \cr \cr 3\left(5-4t\right)-\left(-2+t\right)+2\left(-2-3t\right)+6=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=5-4t \cr \cr y=-2+t \cr \cr z=-2-3t \cr \cr 15-12t+2-t-4-6t+6=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=5-4t \cr \cr y=-2+t \cr \cr z=-2-3t \cr \cr 19t=19 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=5-4t \cr \cr y=-2+t \cr \cr z=-2-3t \cr \cr t=1 \end{cases}
On obtient alors les valeurs de x, y et z :
\begin{cases} x=1\cr \cr y=-1 \cr \cr z=-5 \end{cases}
L'intersection du plan P et de la droite \Delta est le point A\left(1;-1;-5\right).
Quelle est l'intersection de la droite \Delta et du plan P avec :
\Delta:\begin{cases} x=-3-t \cr \cr y=1-2t \cr \cr z=-1+t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
P:-x-y+3z+1=0
Pour déterminer l'intersection de \Delta et de P, on résout le système :
\begin{cases} x=-3-t \cr \cr y=1-2t \cr \cr z=-1+t \ \cr \cr -x-y+3z+1=0 \end{cases}
On remplace les expressions de x, y et z dans la dernière ligne :
\begin{cases} x=-3-t \cr \cr y=1-2t \cr \cr z=-1+t \ \cr \cr -\left(-3-t\right)-\left(1-2t\right)+3\left(-1+t\right)+1=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=-3-t \cr \cr y=1-2t \cr \cr z=-1+t \ \cr \cr 3+t-1+2t-3+3t+1=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=-3-t \cr \cr y=1-2t \cr \cr z=-1+t \ \cr \cr 6t=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=-3-t \cr \cr y=1-2t \cr \cr z=-1+t \ \cr \cr t=0 \end{cases}
On obtient alors les valeurs de x, y et z :
\begin{cases} x=-3 \cr \cr y=1 \cr \cr z=-1 \end{cases}
L'intersection du plan P et de la droite \Delta est le point A\left(-3;1;-1\right).
Quelle est l'intersection de la droite \Delta et du plan P avec :
\Delta:\begin{cases} x=2-t \cr \cr y=-3+2t \cr \cr z=3+t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
P: -4x-2y-2z+6=0
Pour déterminer l'intersection de \Delta et de P, on résout le système :
\begin{cases} x=2-t \cr \cr y=-3+2t \cr \cr z=3+t \cr \cr -4x-2y-2z+6=0 \end{cases}
On remplace les expressions de x, y et z dans la dernière ligne :
\begin{cases} x=2-t \cr \cr y=-3+2t \cr \cr z=3+t \cr \cr -4\left(2-t\right)-2\left(-3+2t\right)-2\left(3+t\right)+6=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=2-t \cr \cr y=-3+2t \cr \cr z=3+t \cr \cr -8+4t+6-4t-6-2t+6=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=2-t \cr \cr y=-3+2t \cr \cr z=3+t \cr \cr 2t=-2 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=2-t \cr \cr y=-3+2t \cr \cr z=3+t \cr \cr t=-1 \end{cases}
On obtient alors les valeurs de x, y et z :
\begin{cases} x=3 \cr \cr y=-5 \cr \cr z=2 \end{cases}
L'intersection du plan P et de la droite \Delta est le point A\left(3;-5;2\right).