On considère les trois points non alignés suivants :
A\left(0;4;1\right), B\left(1;3;0\right) et C\left(2;-1;-2\right)
On considère de plus l'équation cartésienne suivante :
2x-y+3z+1=0
Cette équation est-elle bien celle du plan ABC ?
Les points A, B et C sont non alignés, ils définissent donc bien un plan.
L'équation donnée est une équation cartésienne du plan ABC si et seulement si les coordonnées des points A, B et C la vérifient.
Vérification pour A
On a A\left(0;4;1\right). On remplace :
2\times0-4+3\times1+1=-4+3+1=0
Les coordonnées de A vérifient l'équation.
Vérification pour B
On a B\left(1;3;0\right). On remplace :
2\times1-3+3\times0+1=2-3+1=0
Les coordonnées de B vérifient l'équation.
Vérification pour C
On a C\left(2;-1;-2\right). On remplace :
2\times2+1+3\times\left(-2\right)+1=4+1-6+1=0
Les coordonnées de C vérifient l'équation.
L'équation 2x-y+3z+1=0 est bien celle du plan ABC.
On considère les trois points non alignés suivants :
A\left(-1;1;2\right), B\left(3;1;1\right) et C\left(5;7;5\right)
On considère de plus l'équation cartésienne suivante :
x-3y+4z-4=0
Cette équation est-elle bien celle du plan ABC ?
Les points A, B et C sont non alignés, ils définissent donc bien un plan.
L'équation donnée est une équation cartésienne du plan ABC si et seulement si les coordonnées des points A, B et C la vérifient.
Vérification pour A
On a A\left(-1;1;2\right). On remplace :
-1-3\times1+4\times2-4=-1-3+8-4=0
Les coordonnées de A vérifient l'équation.
Vérification pour B
On a B\left(3;1;1\right). On remplace :
3-3\times1+4\times1-4=3-3+4-4=0
Les coordonnées de B vérifient l'équation.
Vérification pour C
On a C\left(5;7;5\right). On remplace :
5-3\times7+4\times5-4=5-21+20-4=0
Les coordonnées de C vérifient l'équation.
L'équation x-3y+4z-4=0 est bien celle du plan ABC.
On considère les trois points non alignés suivants :
A\left(-1;0;1\right), B\left(3;-1;-2\right) et C\left(4;1;-2\right)
On considère de plus l'équation cartésienne suivante :
-2x+y-3z+1=0
Cette équation est-elle bien celle du plan ABC ?
Les points A, B et C sont non alignés, ils définissent donc bien un plan.
L'équation donnée est une équation cartésienne du plan ABC si et seulement si les coordonnées des points A, B et C la vérifient.
Vérification pour A
On a A\left(-1;0;1\right). On remplace :
-2\times\left(-1\right)+0-3\times1+1=2-3+1=0
Les coordonnées de A vérifient l'équation.
Vérification pour B
On a B\left(3;-1;-2\right). On remplace :
-2\times3-1-3\times\left(-2\right)+1=-6-1+6+1=0
Les coordonnées de B vérifient l'équation.
Vérification pour C
On a C\left(4;1;-2\right). On remplace :
-2\times4+1-3\times\left(-2\right)+1=-8+1+6+1=0
Les coordonnées de C vérifient l'équation.
L'équation -2x+y-3z+1=0 est bien celle du plan ABC.
On considère les trois points non alignés suivants :
A\left(2;2;1\right), B\left(0;-8;-8\right) et C\left(2;-2;1\right)
On considère de plus l'équation cartésienne suivante :
4x+y-2z-8=0
Cette équation est-elle bien celle du plan ABC ?
Les points A, B et C sont non alignés, ils définissent donc bien un plan.
L'équation donnée est une équation cartésienne du plan ABC si et seulement si les coordonnées des points A, B et C la vérifient.
Vérification pour A
On a A\left(2;2;1\right). On remplace :
4\times2+2-2\times1-8=8+2-2-8=0
Les coordonnées de A vérifient l'équation.
Vérification pour B
On a B\left(0;-8;-8\right). On remplace :
4\times0-8-2\times\left(-8\right)-8=-8+16-8=0
Les coordonnées de B vérifient l'équation.
Vérification pour C
On a C\left(2;-2;1\right). On remplace :
4\times2-2-2\times1-8=8-2-2-8=-4≠0
Les coordonnées de C ne vérifient pas l'équation.
L'équation 4x+y-2z-8=0 n'est pas celle du plan ABC.
On considère les trois points non alignés suivants :
A\left(3;-1;4\right), B\left(-2;-5;1\right) et C\left(-1;-4;2\right)
On considère de plus l'équation cartésienne suivante :
-x+2y-z+9=0
Cette équation est-elle bien celle du plan ABC ?
Les points A, B et C sont non alignés, ils définissent donc bien un plan.
L'équation donnée est une équation cartésienne du plan ABC si et seulement si les coordonnées des points A, B et C la vérifient.
Vérification pour A
On a A\left(3;-1;4\right). On remplace :
\left(-1\right)\times3+2\times\left(-1\right)-\left(1\right)\times4+9=-3-2-4+9=0
Les coordonnées de A vérifient l'équation.
Vérification pour B
On a B\left(-2;-5;1\right). On remplace :
\left(-1\right)\times\left(-2\right)+2\times\left(-5\right)-\left(1\right)\times1+9=2-10-1+9=0
Les coordonnées de B vérifient l'équation.
Vérification pour C
On a C\left(-1;-4;2\right). On remplace :
\left(-1\right)\times\left(-1\right)+2\times\left(-4\right)-\left(1\right)\times2+9=1-8-2+9=0
Les coordonnées de C vérifient l'équation.
L'équation -x+2y-z+9=0 est bien celle du plan ABC.
On considère les trois points non alignés suivants :
A\left(-2;-2;0\right), B\left(3;2;-4\right) et C\left(1;0;-3\right)
On considère de plus l'équation cartésienne suivante :
-4x+3y-2z-2=0
Cette équation est-elle bien celle du plan ABC ?
Les points A, B et C sont non alignés, ils définissent donc bien un plan.
L'équation donnée est une équation cartésienne du plan ABC si et seulement si les coordonnées des points A, B et C la vérifient.
Vérification pour A
On a A\left(-2;-2;0\right). On remplace :
\left(-4\right)\times\left(-2\right)+3\times\left(-2\right)-\left(2\right)\times0-2=8-6-2=0
Les coordonnées de A vérifient l'équation.
Vérification pour B
On a B\left(3;2;-4\right). On remplace :
\left(-4\right)\times3+3\times2-\left(2\right)\times\left(-4\right)-2=-12+6+8-2=0
Les coordonnées de B vérifient l'équation.
Vérification pour C
On a C\left(1;0;-3\right). On remplace :
\left(-4\right)\times1+3\times0-\left(2\right)\times\left(-3\right)-2=-4+0+6-2=0
Les coordonnées de C vérifient l'équation.
L'équation -4x+3y-2z-2=0 est bien celle du plan ABC.
On considère les trois points non alignés suivants :
A\left(0;1;0\right), B\left(0;1;1\right) et C\left(2;-1;-3\right)
On considère de plus l'équation cartésienne suivante :
x+5y-z-4=0
Cette équation est-elle bien celle du plan ABC ?
Les points A, B et C sont non alignés, ils définissent donc bien un plan.
L'équation donnée est une équation cartésienne du plan ABC si et seulement si les coordonnées des points A, B et C la vérifient.
Vérification pour A
On a A\left(0;1;0\right). On remplace :
0+5\times1-0-4=5-4=1≠0
Les coordonnées de A ne vérifient pas l'équation.
Vérification pour B
On a B\left(0;1;1\right). On remplace :
0+5\times1-1-4=5-4-1=0
Les coordonnées de B vérifient l'équation.
Vérification pour C
On a C\left(2;-1;-3\right). On remplace :
2+5\times\left(-1\right)-3-4=2-5+3-4=-4≠0
Les coordonnées de C ne vérifient pas l'équation.
L'équation x+5y-z-4=0 n'est pas celle du plan ABC.