Si aucune représentation n'est donnée dans l'énoncé
Une droite de l'espace est définie par une représentation paramétrique qui donne les coordonnées d'un point appartenant à la droite en fonction d'un paramètre t.
Si l'énoncé demande de déterminer l'équation paramétrique d'une droite passant par deux points A et B dont les coordonnées sont données, on peut appliquer la méthode suivante.
Déterminer un point et un vecteur directeur de la droite
On détermine deux informations nécessaires à la représentation paramétrique de la droite :
- Les coordonnées d'un point A de la droite qui sont fournies par l'énoncé.
- Les coordonnées d'un vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) de la droite : pour cela, on détermine les coordonnées du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) où A et B sont les deux points donnés par l'énoncé.
On sait que :
- La droite passe par le point \(\displaystyle{A\left(1;0;2\right)}\).
- La droite a pour vecteur directeur le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-1 \cr\cr -1-0 \cr\cr -3-2 \end{pmatrix}}\) soit \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -1 \cr\cr -5 \end{pmatrix}}\).
Écrire une représentation paramétrique
Si les coordonnées du point A et du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont respectivement \(\displaystyle{A\left(x_A,y_A,z_A\right)}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \cr\cr c \end{pmatrix}}\), alors une représentation paramétrique de la droite est :
\(\displaystyle{\begin{cases} x=x_A+at \cr \cr y=y_A+bt\text{ ,}t\in \mathbb{R}\cr \cr z=z_A+ct \end{cases}}\)
On a \(\displaystyle{A\left(1;0;2\right)}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -1 \cr\cr -5 \end{pmatrix}}\).
Une représentation paramétrique de \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) est donc :
\(\displaystyle{\begin{cases} x=1+3t \cr \cr y=-t \cr \cr z=2-5t \end{cases}}\), \(\displaystyle{t\in \mathbb{R}}\)
Si une représentation est donnée dans l'énoncé
Une droite de l'espace est définie par une représentation paramétrique qui donne les coordonnées d'un point appartenant à la droite en fonction d'un paramètre t.
Si l'énoncé nous demande de montrer qu'une équation paramétrique donnée est bien celle d'une droite passant par deux points A et B dont les coordonnées sont données, on peut appliquer la méthode suivante.
Soient A et B les points de coordonnées \(\displaystyle{A\left(1;1;-4\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(4;-2;5\right)}\).
Montrer que la droite \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) admet pour représentation paramétrique le système suivant :
\(\displaystyle{\begin{cases} x=3+t \cr \cr y=-1-t\text{ ,}t\in \mathbb{R} \cr \cr z=2+3t \end{cases}}\)
Montrer que les coordonnées de A et B vérifient la représentation paramétrique
On remplace x, y et z par les coordonnées de A. On a :
\(\displaystyle{\begin{cases} 1=3+t \cr \cr 1=-1-t\cr \cr -4=2+3t \end{cases}}\)
Soit :
\(\displaystyle{\begin{cases} t=-2 \cr \cr t=-2\cr \cr t=-2 \end{cases}}\)
Il existe bien une même valeur de t vérifiant les trois équations donc le point A vérifie bien la représentation paramétrique.
De même, on remplace x, y et z par les coordonnées de B. On a :
\(\displaystyle{\begin{cases} 4=3+t \cr \cr -2=-1-t\cr \cr 5=2+3t \end{cases}}\)
Soit :
\(\displaystyle{\begin{cases} t=1 \cr \cr t=1\cr \cr t=1 \end{cases}}\)
Il existe bien une même valeur de t vérifiant les trois équations donc le point B vérifie bien la représentation paramétrique.