Montrer que trois points définissent un plan Méthode

Sommaire

1Rappeler le cours 2En déduire une condition sur la colinéarité 3Donner les coordonnées des vecteurs 4Conclure

Trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.

Soient les points A\left(1;-2;0\right), B\left(3;4;0\right) et C\left(3;1;5\right).

Déterminer si les points A, B et C définissent un plan.

Etape 1

Rappeler le cours

On rappelle que trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.

Les trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.

Etape 2

En déduire une condition sur la colinéarité

On en déduit que les points A, B et C définissent un plan si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.

Ainsi, les points A, B et C définissent un plan si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.

Etape 3

Donner les coordonnées des vecteurs

On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} :

  • \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3-1\cr\cr 4-\left(-2\right)\cr\cr 0-0\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2\cr\cr 6\cr\cr 0\end{pmatrix}
  • \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3-1\cr\cr 1-\left(-2\right)\cr\cr 5-0\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2\cr\cr 3\cr\cr 5\end{pmatrix}
Etape 4

Conclure

Si les coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas proportionnelles, les points A, B et C définissent un plan.

Les coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

On conclut que les points A, B et C définissent un plan.