Montrer qu'un vecteur est normal à un plan Méthode

Sommaire

1Rappeler la définition 2Déterminer deux vecteurs non colinéaires du plan 3Calculer les produits scalaires 4Conclure

Un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

On considère un plan trois points A, B et C non alignés tels que :

A\left(1;0;4\right), B\left(-3;3;8\right) et C\left(3;-1;-4\right)

Déterminer si le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 12 \cr\cr 1 \end{pmatrix} est normal au plan \left(ABC\right) .

Etape 1

Rappeler la définition

On rappelle qu'un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan \left(ABC\right) si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Etape 2

Déterminer deux vecteurs non colinéaires du plan

On détermine deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} non colinéaires du plan P.

Les points A, B et C n'étant pas alignés, on peut utiliser les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}. On détermine leurs coordonnées :

  • \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3-1\cr\cr 3-0\cr\cr 8-4\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4\cr\cr 3\cr\cr 4\end{pmatrix}
  • \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3-1\cr\cr -1-0\cr\cr -4-4\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2\cr\cr -1\cr\cr -8\end{pmatrix}
Etape 3

Calculer les produits scalaires

On calcule les produits scalaires \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} et \overrightarrow{n}.\overrightarrow{v}.

On calcule les produits scalaires \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}. :

  • \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} = 10 \times \left(-4\right) + 12 \times 3 + 1\times 4 = -40+36+4=0
  • \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC} = 10 \times 2 + 12 \times \left(-1\right) + 1\times \left(-8\right) = 20 -12-8=0
Etape 4

Conclure

Si on obtient \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} = 0 et \overrightarrow{n}.\overrightarrow{v} = 0, alors \overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan.

On obtient :

  • \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} = 0
  • \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC} = 0

Donc le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \left(ABC\right). On en conclut que \overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan.