On considère les trois points non alignés du plan suivant :
A\left(0;4;1\right), B\left(1;3;0\right) et C\left(2;-1;-2\right)
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr 3 \end{pmatrix} est-il normal au plan ABC ?
Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
Coordonnées des vecteurs
On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AB} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1-0 \cr\cr 3-4 \cr\cr 0-1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -1 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
De même, on détermine les coordonnées de \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2-0 \cr\cr -1-4 \cr\cr -2-1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -5 \cr\cr -3 \end{pmatrix}
Orthogonalité
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0, c'est-à-dire si et seulement si :
x_\overrightarrow{u}x_\overrightarrow{v}+y_\overrightarrow{u}y_\overrightarrow{v}+z_\overrightarrow{u}z_\overrightarrow{v}=0
Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -1 \cr\cr -1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -5 \cr\cr -3 \end{pmatrix}. D'où :
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=2\times1+\left(-1\right)\times\left(-1\right)+3\times\left(-1\right)=2+1-3=0
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=2\times2+\left(-1\right)\times\left(-5\right)+3\times\left(-3\right)=4+5-9=0
\overrightarrow{n} est bien orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan ABC.
On considère les trois points non alignés du plan suivant :
A\left(0;2;3\right), B\left(1;0;3\right) et C\left(-2;1;0\right)
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -3 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est-il normal au plan ABC ?
Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
Coordonnées des vecteurs
On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AB} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1-0 \cr\cr 0-2 \cr\cr 3-3 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -2 \cr\cr 0 \end{pmatrix}
De même, on détermine les coordonnées de \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -2-0 \cr\cr 1-2 \cr\cr 0-3 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -1 \cr\cr -3 \end{pmatrix}
Orthogonalité
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0, c'est-à-dire si et seulement si :
x_\overrightarrow{u}x_\overrightarrow{v}+y_\overrightarrow{u}y_\overrightarrow{v}+z_\overrightarrow{u}z_\overrightarrow{v}=0
Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -2 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -1 \cr\cr -3 \end{pmatrix}. D'où :
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=1\times1+\left(-3\right)\times\left(-2\right)+2\times\left(0\right)=1+6+0=7
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=1\times\left(-2\right)+\left(-3\right)\times\left(-1\right)+2\times\left(-3\right)=\left(-2\right)+3+\left(-6\right)=-5
\overrightarrow{n} n'est pas orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{n} n'est pas un vecteur normal au plan ABC.
On considère les trois points non alignés du plan suivant :
A\left(4;4;2\right), B\left(8;6;5\right) et C\left(1;2;-1\right)
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 3 \cr\cr -2 \end{pmatrix} est-il normal au plan ABC ?
Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
Coordonnées des vecteurs
On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AB} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 8-4 \cr\cr 6-4 \cr\cr 5-2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \cr\cr 3 \end{pmatrix}
De même, on détermine les coordonnées de \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1-4 \cr\cr 2-4 \cr\cr -1-2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr -2 \cr\cr -3 \end{pmatrix}
Orthogonalité
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0, c'est-à-dire si et seulement si :
x_\overrightarrow{u}x_\overrightarrow{v}+y_\overrightarrow{u}y_\overrightarrow{v}+z_\overrightarrow{u}z_\overrightarrow{v}=0
Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr -3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \cr\cr 3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr -2 \cr\cr -3 \end{pmatrix}. D'où :
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=0\times4+3\times2+\left(-2\right)\times3=0+6-6=0
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=0\times\left(-3\right)+3\times\left(-2\right)+\left(-2\right)\times\left(-3\right)=0-6+6=0
\overrightarrow{n} est bien orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan ABC.
On considère les trois points non alignés du plan suivant :
A\left(6;0;5\right), B\left(1;1;1\right) et C\left(0;4;2\right)
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} est-il normal au plan ABC ?
Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
Coordonnées des vecteurs
On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AB} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1-6 \cr\cr 1-0 \cr\cr 1-5 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -5 \cr\cr 1 \cr\cr -4 \end{pmatrix}
De même, on détermine les coordonnées de \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0-6 \cr\cr 4-0 \cr\cr 2-5 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr 4 \cr\cr -3 \end{pmatrix}
Orthogonalité
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0, c'est-à-dire si et seulement si :
x_\overrightarrow{u}x_\overrightarrow{v}+y_\overrightarrow{u}y_\overrightarrow{v}+z_\overrightarrow{u}z_\overrightarrow{v}=0
Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -5 \cr\cr 1 \cr\cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr 4 \cr\cr -3 \end{pmatrix}. D'où :
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=1\times\left(-5\right)+1\times1+1\times\left(-4\right)=-5+1-4=-8
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=1\times\left(-6\right)+1\times4+1\times\left(-3\right)=-6+4-3=-5
\overrightarrow{n} n'est pas orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{n} n'est pas un vecteur normal au plan ABC.
On considère les trois points non alignés du plan suivant :
A\left(10;1;1\right), B\left(7;5;7\right) et C\left(6;7;9\right)
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix} est-il normal au plan ABC ?
Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
Coordonnées des vecteurs
On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AB} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 7-10 \cr\cr 5-1 \cr\cr 7-1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \cr\cr 6 \end{pmatrix}
De même, on détermine les coordonnées de \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6-10 \cr\cr 7-1 \cr\cr 9-1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 6 \cr\cr 8 \end{pmatrix}
Orthogonalité
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0, c'est-à-dire si et seulement si :
x_\overrightarrow{u}x_\overrightarrow{v}+y_\overrightarrow{u}y_\overrightarrow{v}+z_\overrightarrow{u}z_\overrightarrow{v}=0
Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \cr\cr 6 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 6 \cr\cr 8 \end{pmatrix}. D'où :
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=2\times\left(-3\right)+0\times4+1\times6=-6+0+6=0
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=2\times\left(-4\right)+0\times6+1\times8=-8+0+8=0
\overrightarrow{n} est bien orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan ABC.
On considère les trois points non alignés du plan suivant :
A\left(-4;3;1\right), B\left(3;-2;0\right) et C\left(0;1;-1\right)
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \cr\cr -1 \end{pmatrix} est-il normal au plan ABC ?
Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
Coordonnées des vecteurs
On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AB} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3-\left(-4\right) \cr\cr -2-3 \cr\cr 0-1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 7 \cr\cr -5 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
De même, on détermine les coordonnées de \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0-4 \cr\cr 1-3 \cr\cr -1-1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr -2 \cr\cr -2 \end{pmatrix}
Orthogonalité
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0, c'est-à-dire si et seulement si :
x_\overrightarrow{u}x_\overrightarrow{v}+y_\overrightarrow{u}y_\overrightarrow{v}+z_\overrightarrow{u}z_\overrightarrow{v}=0
Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \cr\cr -1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 7 \cr\cr -5 \cr\cr -1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr -2 \cr\cr -2 \end{pmatrix}. D'où :
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=\left(-1\right)\times7+1\times\left(-5\right)+\left(-1\right)\times\left(-1\right)=-7-5+1=-11
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=\left(-1\right)\times4+1\times\left(-2\right)+\left(-1\right)\times\left(-2\right)=-4-2+2=-4
\overrightarrow{n} n'est pas orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{n} n'est pas un vecteur normal au plan ABC.
On considère les trois points non alignés du plan suivant :
A\left(1;1;1\right), B\left(4;2;4\right) et C\left(-3;-1;-1\right)
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 1 \cr\cr 3 \end{pmatrix} est-il normal au plan ABC ?
Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
Coordonnées des vecteurs
On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AB} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-1 \cr\cr 2-1 \cr\cr 4-1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}
De même, on détermine les coordonnées de \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3-3 \cr\cr -1-1 \cr\cr -1-1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr -2 \cr\cr -2 \end{pmatrix}
Orthogonalité
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0, c'est-à-dire si et seulement si :
x_\overrightarrow{u}x_\overrightarrow{v}+y_\overrightarrow{u}y_\overrightarrow{v}+z_\overrightarrow{u}z_\overrightarrow{v}=0
Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 1 \cr\cr 3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr -2 \cr\cr -2 \end{pmatrix}. D'où :
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=\left(-2\right)\times3+1\times1+3\times3=-6+1+9=4\neq0
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=\left(-2\right)\times\left(-4\right)+1\times\left(-2\right)+3\times\left(-2\right)=8-2-6=0
\overrightarrow{n} n'est pas orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{n} n'est pas un vecteur normal au plan ABC.