Déterminer si trois points forment un plan Exercice

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Dernière modification : 01/10/2020 - Conforme au programme 2019-2020

Soient les points A\left(-1;3;5\right), B\left(-2;6;1\right) et C\left(1;-3;13\right).

Les points A, B et C forment-ils un plan ?

Oui

Non

Les points A, B et C forment un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.

Etape 1

Coordonnées des vecteurs

On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AB} :

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A\end{pmatrix}

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2-\left(1\right) \cr\cr 6-3 \cr\cr 1-5 \end{pmatrix}

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 3 \cr\cr -4 \end{pmatrix}

De même, on détermine les coordonnées de \overrightarrow{AC} :

\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A\end{pmatrix}

\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1-\left(-1\right) \cr\cr -3-3 \cr\cr 13-5 \end{pmatrix}

\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -6 \cr\cr 8 \end{pmatrix}

Etape 2

Colinéarité

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 3 \cr\cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -6 \cr\cr 8 \end{pmatrix}

Les coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont proportionnelles. Les vecteurs sont donc colinéaires.

Les points A, B et C ne forment pas un plan.

Soient les points A\left(-2;4;0\right), B\left(1;2;2\right) et C\left(-5;1;2\right).

Les points A, B et C forment-ils un plan ?

Oui car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -2 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr -3 \cr\cr 2 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.

Oui car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -7 \cr\cr -2 \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr -3 \cr\cr 2 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.

Non car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 3 \cr\cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -6 \cr\cr 8 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.

Non car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -2 \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr -3 \cr\cr 2 \end{pmatrix} sont colinéaires.

Soient les points A\left(1;3;7\right), B\left(-1;-4;-2\right) et C\left(3;10;2\right).

Les points A, B et C forment-ils un plan ?

Oui car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -7 \cr\cr -9 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 7 \cr\cr 5 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.

Non car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 13 \cr\cr 9 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -7 \cr\cr -9 \end{pmatrix} sont colinéaires.

Oui car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -7 \cr\cr -9 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 7 \cr\cr -5 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.

Non car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 7 \cr\cr 9 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -7 \cr\cr -9 \end{pmatrix} sont colinéaires.

Soient les points A\left(7;-3;4\right), B\left(10;-5;2\right) et C\left(6;15;0\right).

Les points A, B et C forment-ils un plan ?

non car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -8 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 12 \cr\cr -4 \end{pmatrix} sont colinéaires.

Oui car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -2 \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 18 \cr\cr -4 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.

Non car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -2 \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr 4 \cr\cr 4 \end{pmatrix} sont colinéaires.

Oui car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -8 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 12 \cr\cr -4 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.

Soient les points A\left(7;27;2\right), B\left(3;30;10\right) et C\left(19;18;-22\right).

Les points A, B et C forment-ils un plan ?

Non car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 3 \cr\cr 8 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 12 \cr\cr 9 \cr\cr -20 \end{pmatrix} sont colinéaires.

Oui car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 3 \cr\cr 8 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 12 \cr\cr -9 \cr\cr 24 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.

Non car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 3 \cr\cr 8 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 12 \cr\cr -9 \cr\cr -24 \end{pmatrix} sont colinéaires.

Oui car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 3 \cr\cr 8 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 12 \cr\cr 9 \cr\cr -20 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.

Soient les points A\left(5;4;-1\right), B\left(-1;2;-3\right) et C\left(6;7;-2\right).

Les points A, B et C forment-ils un plan ?

Oui car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 11 \cr\cr 11 \cr\cr -3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 6 \cr\cr _4 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.

Non car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 6 \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix} sont colinéaires.

Oui car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr -2 \cr\cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -3 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.

Oui car \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr -2 \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.