On considère la droite \Delta dont on donne une représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} x=1+t \cr \cr y=-1+2t \cr \cr z=3-2t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Le point A\left(1;2;-1\right) appartient-il à la droite \Delta ?
A\left(1;2;-1\right) appartient à la droite \Delta si et seulement s'il existe un réel t tel que les coordonnées de A soient solutions du système.
On remplace :
\begin{cases} 1=1+t \cr \cr 2=-1+2t \cr \cr -1=3-2t \end{cases}
\begin{cases} t=0 \cr \cr t=\dfrac{3}{2} \cr \cr t=2 \end{cases}
On obtient trois valeurs différentes de t, le système est donc impossible.
A\notin \Delta
On considère la droite \Delta dont on donne une représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} x=2+t \cr \cr y=-3-2t \cr \cr z=4+2t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Le point A\left(1;-1;2\right) appartient-il à la droite \Delta ?
A\left(1;-1;2\right) appartient à la droite \Delta si et seulement s'il existe un réel t tel que les coordonnées de A soient solutions du système.
On remplace :
\begin{cases} 1=2+t \cr \cr -1=-3-2t \cr \cr 2=4+2t \end{cases}
\begin{cases} t=-1 \cr \cr t=-1 \cr \cr t=-1 \end{cases}
Avec t=-1, les coordonnées de A sont bien solution du système.
A\in \Delta
On considère la droite \Delta dont on donne une représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} x=-1\cr \cr y=2t \cr \cr z=3+t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Le point A\left(-1;4;4\right) appartient-il à la droite \Delta ?
A\left(-1;4;4\right) appartient à la droite \Delta si et seulement s'il existe un réel t tel que les coordonnées de A soient solutions du système.
On remplace :
\begin{cases} -1=-1 \cr \cr 4=2t \cr \cr 4=3+t \end{cases}
\begin{cases} t=2 \cr \cr t=1 \end{cases}
On obtient deux valeurs différentes de t, le système est donc impossible.
A\notin \Delta
On considère la droite \Delta dont on donne une représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} x=-4+2t \cr \cr y=-2-t \cr \cr z=3+4t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Le point A\left(0;-4;11\right) appartient-il à la droite \Delta ?
A\left(0;-4;11\right) appartient à la droite \Delta si et seulement s'il existe un réel t tel que les coordonnées de A soient solutions du système.
On remplace :
\begin{cases} 0=-4+2t \cr \cr -4=-2-t \cr \cr 11=3+4t \end{cases}
\begin{cases} t=2 \cr \cr t=2 \cr \cr t=2 \end{cases}
Avec t=2, les coordonnées de A sont bien solution du système.
A\in \Delta
On considère la droite \Delta dont on donne une représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} x=6-t \cr \cr y=-2+3t \cr \cr z=t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Le point A\left(2;3;2\right) appartient-il à la droite \Delta ?
A\left(2;3;2\right) appartient à la droite \Delta si et seulement s'il existe un réel t tel que les coordonnées de A soient solutions du système.
On remplace :
\begin{cases} 2=6-t \cr \cr 3=-2+3t \cr \cr 2=t \end{cases}
\begin{cases} t=4 \cr \cr t=\dfrac{5}{3} \cr \cr t=2 \end{cases}
On obtient trois valeurs différentes de t, le système est donc impossible.
A\notin \Delta
On considère la droite \Delta dont on donne une représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} x=1-2t \cr \cr y=4 \cr \cr z=3+4t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Le point A\left(0;4;5\right) appartient-il à la droite \Delta ?
A\left(0;4;5\right) appartient à la droite \Delta si et seulement s'il existe un réel t tel que les coordonnées de A soient solutions du système.
On remplace :
\begin{cases} 0=1-2t \cr \cr 4=4 \cr \cr 5=3+4t \end{cases}
\begin{cases} t=\dfrac{1}{2} \cr \cr t=\dfrac{1}{2} \end{cases}
On obtient une seule valeur de t, pour laquelle les coordonnées de A sont solutions du système.
A\in \Delta
On considère la droite \Delta dont on donne une représentation paramétrique :
\Delta:\begin{cases} x=2+t \cr \cr y=1-2t \cr \cr z=3-t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Le point A\left(5;-5;1\right) appartient-il à la droite \Delta ?
A\left(5;-5;1\right) appartient à la droite \Delta si et seulement s'il existe un réel t tel que les coordonnées de A soient solutions du système.
On remplace :
\begin{cases} 5=2+t \cr \cr -5=1-2t \cr \cr 1=3-t \end{cases}
\begin{cases} t=3 \cr \cr t=3 \cr \cr t=2 \end{cases}
On obtient deux valeurs différentes de t, le système est donc impossible.
A\notin \Delta