On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=\left| 2x-3 \right|

Quelle est l'expression de la fonction f sans valeur absolue ?

\begin{cases} f\left(x\right)=2x-3 \text{ si }x\geqslant\dfrac{3}{2} \cr \cr f\left(x\right)=-2x+3 \text{ si }x\lt\dfrac{3}{2}\end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=-2x+3 \text{ si }x\geqslant\dfrac{3}{2} \cr \cr f\left(x\right)= 2x-3\text{ si }x\lt\dfrac{3}{2}\end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=2x-3 \text{ si }x\geqslant0 \cr \cr f\left(x\right)=-2x+3 \text{ si }x\lt0\end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=-2x+3 \text{ si }x\geqslant \dfrac23 \cr \cr f\left(x\right)=2x-3 \text{ si }x\lt\dfrac23 \end{cases}

On sait que :

\begin{cases} \left| 2x-3 \right|=2x-3 \text{ si }2x-3\geqslant0 \cr \cr \left| 2x-3 \right|=-\left(2x-3\right) \text{ si }2x-3\lt0 \end{cases}

\begin{cases} \left| 2x-3 \right|=2x-3 \text{ si }2x-3\geqslant0 \cr \cr \left| 2x-3 \right|=-2x+3 \text{ si }2x-3\lt0 \end{cases}

\begin{cases} \left| 2x-3 \right|=2x-3 \text{ si }2x\geqslant3 \cr \cr \left| 2x-3 \right|=-2x+3\text{ si }2x\lt3 \end{cases}

\begin{cases} \left| 2x-3 \right|=2x-3 \text{ si }x\geqslant\dfrac{3}{2} \cr \cr \left| 2x-3 \right|=-2x+3 \text{ si }x\lt \dfrac{3}{2} \end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=2x-3 \text{ si }x\geqslant\dfrac{3}{2} \cr \cr f\left(x\right)=-2x+3 \text{ si }x\lt\dfrac{3}{2}\end{cases}

Dans quelle proposition étudie-t-on correctement la continuité de la fonction f sur \mathbb{R} ?

La fonction f est continue sur \left] \dfrac32;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;\dfrac32 \right[ en tant que fonction affine.

Enfin, \lim\limits_{x \to \frac32^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to \frac32^-}f\left(x\right)=f\left(\dfrac32\right). Donc f est continue sur \mathbb{R}.

La fonction f est continue sur \left] 2;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;2 \right[ en tant que fonction affine.

Mais, \lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)\neq f\left(2\right). Donc f n'est pas continue sur \mathbb{R}.

La fonction f est continue sur \left] \dfrac23;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;\dfrac23 \right[ en tant que fonction affine.

Mais, f n'a pas la même limite à gauche et à droite de \dfrac23. Donc f est continue sur \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac23 \right\}.

La fonction f est continue sur \left] 0;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;0 \right[ en tant que fonction affine.

Enfin, \lim\limits_{x \to 0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to 0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right). Donc f est continue sur \mathbb{R}.

Etape 1

Continuité sur \left]\dfrac{3}{2};+\infty \right[

Pour tout réel x appartenant à \left] \dfrac{3}{2};+\infty \right[, on a f\left(x\right)=2x-3.

f est donc continue sur \left] \dfrac{3}{2};+\infty \right[ en tant que fonction affine.

Etape 2

Continuité sur \left] -\infty;\dfrac{3}{2} \right[

Pour tout réel x appartenant à \left] -\infty;\dfrac{3}{2} \right[, on a f\left(x\right)=-2x+3.

f est donc continue sur \left] -\infty;\dfrac{3}{2} \right[ en tant que fonction affine.

Etape 3

Continuité en \dfrac{3}{2}

f est continue sur \mathbb{R} si et seulement si \lim\limits_{x \to \frac{3}{2}}f\left(x\right)=f\left(\dfrac{3}{2}\right)

Or ici, on a :

f\left(\dfrac{3}{2}\right)=2\times\dfrac{3}{2}-3=0

De plus, on a, f\left(x\right)=-2x+3 \text{ si }x\lt\dfrac{3}{2} d'où :

\lim\limits_{x \to \frac{3}{2}}f\left(x\right)=-2\times\dfrac{3}{2}+3=0

Ainsi, on a bien :

\lim\limits_{x \to \frac{3}{2}}f\left(x\right)=f\left(\dfrac{3}{2}\right)

f est continue en \dfrac{3}{2}.

f est continue sur \mathbb{R}.