On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\left| x-2 \right|
Quelle est l'expression de la fonction f sans valeur absolue ?
On sait que :
\begin{cases} \left| x-2 \right|=x-2 \text{ si }x-2\geqslant0 \cr \cr \left| x-2 \right|=-\left(x-2\right) \text{ si }x-2\lt0 \end{cases}
\begin{cases} \left| x-2 \right|=x-2 \text{ si }x-2\geqslant0 \cr \cr \left| x-2 \right|=-x+2 \text{ si }x-2\lt0 \end{cases}
\begin{cases} \left| x-2 \right|=x-2 \text{ si }x\geqslant2 \cr \cr \left|x-2 \right|=-x+2 \text{ si }x\lt2 \end{cases}
\begin{cases} f\left(x\right)=x-2 \text{ si }x\geqslant2 \cr \cr f\left(x\right)=-x+2 \text{ si }x\lt2 \end{cases}
Dans quelle proposition étudie-t-on correctement la continuité de la fonction f sur \mathbb{R} ?
Continuité sur \left] 2;+\infty \right[
Pour tout réel x appartenant à \left] 2;+\infty \right[, on a f\left(x\right)=x-2.
f est donc continue sur \left] 2;+\infty \right[ en tant que fonction affine.
Continuité sur \left] -\infty;2 \right[
Pour tout réel x appartenant à \left] -\infty;2 \right[, on a f\left(x\right)=-x+2.
f est donc continue sur \left] -\infty;2 \right[ en tant que fonction affine.
Continuité en 2
f est continue sur \mathbb{R} si et seulement si \lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)=f\left(2\right)
Or ici, on a :
f\left(2\right)=2-2=0
De plus, on a, f\left(x\right)=-x+2 \text{ si }x\lt2 d'où :
\lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)=-2+2=0
Ainsi, on a bien :
\lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)=f\left(2\right)
f est continue en 2.
f est continue sur \mathbb{R}.