On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=\left| 3x+9 \right|

Quelle est l'expression de la fonction f sans valeur absolue ?

\begin{cases} f\left(x\right)=3x+9 \text{ si }x\geqslant-3 \cr \cr f\left(x\right)=-3x-9 \text{ si }x\lt-3 \end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=-3x-9 \text{ si }x\geqslant-\dfrac13 \cr \cr f\left(x\right)=3x+9 \text{ si }x\lt-\dfrac13 \end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=-3x-9 \text{ si }x\geqslant\dfrac13 \cr \cr f\left(x\right)=3x+9 \text{ si }x\lt\dfrac13 \end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=3x+9 \text{ si }x\geqslant0 \cr \cr f\left(x\right)=-3x-9 \text{ si }x\lt0 \end{cases}

On sait que :

\begin{cases} \left| 3x+9 \right|=3x+9 \text{ si }3x+9\geqslant0 \cr \cr \left| 3x+9 \right|=-\left(3x+9\right) \text{ si }3x+9\lt0 \end{cases}

\begin{cases} \left| 3x+9 \right|=3x+9 \text{ si }3x+9\geqslant0 \cr \cr \left| 3x+9 \right|=-3x-9 \text{ si }3x+9\lt0 \end{cases}

\begin{cases} \left| 3x+9 \right|=3x+9 \text{ si }3x\geqslant-9 \cr \cr \left|3x+9 \right|=-3x-9 \text{ si }3x\lt-9 \end{cases}

\begin{cases} \left| 3x+9 \right|=3x+9 \text{ si }x\geqslant-3 \cr \cr \left|3x+9 \right|=-3x-9 \text{ si }x\lt-3 \end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=3x+9 \text{ si }x\geqslant-3 \cr \cr f\left(x\right)=-3x-9 \text{ si }x\lt-3 \end{cases}

Dans quelle proposition étudie-t-on correctement la continuité de la fonction f sur \mathbb{R} ?

La fonction f est continue sur \left] -3;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;-3 \right[ en tant que fonction affine.

Enfin, \lim\limits_{x \to \left(-3\right)^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to\left(-3\right)^-}f\left(x\right)=f\left(-3\right). Donc f est continue sur \mathbb{R}.

La fonction f est continue sur \left] -3;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;-3 \right[ en tant que fonction affine.

Mais, \lim\limits_{x \to \left(-3\right)^+}f\left(x\right)\neq\lim\limits_{x \to\left(-3\right)^-}f\left(x\right). Donc f est continue sur \mathbb{R}\backslash\{-3\}.

La fonction f est continue sur \left] 0;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;0 \right[ en tant que fonction affine.

Enfin, \lim\limits_{x \to 0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right). Donc f est continue sur \mathbb{R}.

La fonction f est continue sur \left] 0;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;0 \right[ en tant que fonction affine.

Mais, \lim\limits_{x \to 0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to0^-}f\left(x\right)\neq f\left(0\right). Donc f est continue sur \mathbb{R}\backslash\{0\}.

Etape 1

Continuité sur \left] -3;+\infty \right[

Pour tout réel x appartenant à \left] -3;+\infty \right[, on a f\left(x\right)=3x+9.

f est donc continue sur \left] -3;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

Etape 2

Continuité sur \left] -\infty;-3 \right[

Pour tout réel x appartenant à \left] -\infty;-3 \right[, on a f\left(x\right)=-3x-9.

f est donc continue sur \left] -\infty;-3 \right[ en tant que fonction affine.

Etape 3

Continuité en -3

f est continue sur \mathbb{R} si et seulement si \lim\limits_{x \to -3}f\left(x\right)=f\left(-3\right)

Or ici, on a :

f\left(-3\right)=3\times\left(-3\right)-9=0

De plus, on a, f\left(x\right)=-3x-9\text{ si }x\lt-3 d'où :

\lim\limits_{x \to -3}f\left(x\right)=\left(-3\right)\times\left(-3\right)-9=0

Ainsi, on a bien :

\lim\limits_{x \to -3}f\left(x\right)=f\left(3\right)

f est continue en -3.

f est continue sur \mathbb{R}.