On considère les trois points non alignés du plan suivant :
A\left(0;3;-1\right), B\left(-1;5;1\right) et C\left(2;2;2\right)
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 0 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est-il normal au plan ABC ?
Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan ABC si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
Coordonnées des vecteurs
On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AB} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 - 0 \cr\cr 5-3 \cr\cr 1- \left(-1\right) \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 2 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
De même, on détermine les coordonnées de \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2-0 \cr\cr 2-3 \cr\cr 2- \left(-1\right) \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}
Orthogonalité
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0, c'est-à-dire si et seulement si :
x_\overrightarrow{u}x_\overrightarrow{v}+y_\overrightarrow{u}y_\overrightarrow{v}+z_\overrightarrow{u}z_\overrightarrow{v}=0
Ici, on a : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 0 \cr\cr 2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 2 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}. D'où :
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=4\times\left(-1\right)+0\times2+2\times2=-4+0+4=0
- \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=4\times2+0\times\left(-1\right)+2\times3=8+6=14
\overrightarrow{n} n'est pas orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires du plan \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{n} n'est pas un vecteur normal au plan ABC.
On considère les trois points non alignés du plan suivant :
A\left(1;0;1\right), B\left(-1;3;0\right) et C\left(2;2;-2\right)
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 \cr\cr 3 \end{pmatrix} est-il normal au plan ABC ?
On considère les trois points non alignés du plan suivant :
A\left(-1;-1;-1\right), B\left(3;-4;-2\right) et C\left(6;-4;-5\right)
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 2 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est-il normal au plan ABC ?
On considère les trois points non alignés du plan suivant :
A\left(2;3;4\right), B\left(8;-1;6\right) et C\left(-7;1;3\right)
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 0 \cr\cr 3 \end{pmatrix} est-il normal au plan ABC ?
On considère les trois points non alignés du plan suivant :
A\left(1;-1;0\right), B\left(0;2;4\right) et C\left(5;0;-1\right)
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix} est-il normal au plan ABC ?
On considère les trois points non alignés du plan suivant :
A\left(-1;2;1\right), B\left(-3;2;5\right) et C\left(2;-1;-3\right)
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 0 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est-il normal au plan ABC ?