La fonction logarithme népérienFormulaire

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, définie sur \mathbb{R}^{+*} est f\left(x\right)=\ln\left(x\right).

  • Pour tout réel x : \ln\left(e^{x}\right) = x.
  • Pour tout réel x strictement positif : e^{\ln\left(x\right)} = x.

Propriétés algébriques de la fonction \ln

Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :

  • \ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)
  • \ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)
  • \ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)
  • \ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)
  • \ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)

Limites de la fonction \ln

\lim\limits_{x \to 0} \ln\left(x\right) = - \infty

\lim\limits_{x \to +\infty } \ln\left(x\right) = + \infty

Croissances comparées

\lim\limits_{x \to +\infty }\dfrac{\ln\left(x\right)}{x}= 0

\lim\limits_{x \to 0^{+}} x \ln\left(x\right) = 0

Taux d'accroissement

\lim\limits_{x \to 1}\, \dfrac{\ln\left(x\right)}{x-1}= 1

\lim\limits_{x \to 0}\, \dfrac{\ln\left(1+x\right)}{x}= 1

Dérivées

Fonction Dérivée
\ln\left(x\right) \dfrac1x
\ln\left(u\right) \dfrac{u'}{u}

Logarithme décimal

La fonction logarithme décimal, notée \log, est définie sur \mathbb{R}^{+*} par :

\log\left(x\right) =\dfrac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(10\right)}