Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{ x-1}
Faire apparaître un taux d'accroissement
On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.
On pose, pour tout x\in \left] 0 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \ln x.
On remarque que f\left(1\right)=\ln 1 = 0.
Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 1 vaut T_1\left(x\right)=\dfrac{\ln x - 0}{x-1}.
Or f est dérivable sur \left] 0 ; +\infty \right[, donc on sait que \lim\limits_{x \to 1}T_1\left(x\right)=f'\left(1\right).
Calculer la limite
Pour tout x\in \left] 0 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \ln x.
Donc pour tout x\in \left] 0 ; +\infty \right[, on a f'\left(x\right) = \dfrac{1}{x}
Ainsi, f'\left(1\right) = \dfrac{1}{1} = 1.
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{ x-1} = 1
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln \left(1+x\right)}{ x}
Faire apparaître un taux d'accroissement
On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.
On pose, pour tout x\in \left] -1 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \ln \left(1+x\right).
On remarque que f\left(0\right)=\ln 1 = 0.
Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 0 vaut T_0\left(x\right)=\dfrac{\ln \left(1+x\right) - \ln\left(1\right)}{x-0}.
Or f est dérivable sur \left] -1 ; +\infty \right[, donc on sait que \lim\limits_{x \to 0}T_0\left(x\right)=f'\left(0\right).
Calculer la limite
Pour tout x\in \left] -1 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \ln \left(1+x\right).
Donc pour tout x\in \left] -1 ; +\infty \right[, on a f'\left(x\right) = \dfrac{1}{1+x}
Ainsi, f'\left(0\right) = \dfrac{1}{1} = 1.
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln \left(1+x\right)}{ x} = 1
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\ln \left(1+x\right)-\ln3}{ x-2}
Faire apparaître un taux d'accroissement
On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.
On pose, pour tout x\in \left] -1 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \ln \left(1+x\right).
On remarque que f\left(2\right)=\ln 3.
Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 2 vaut T_2\left(x\right)=\dfrac{\ln \left(1+x\right) - \ln\left(3\right)}{x-2}.
Or f est dérivable sur \left] -1 ; +\infty \right[, donc on sait que \lim\limits_{x \to 2}T_2\left(x\right)=f'\left(2\right).
Calculer la limite
Pour tout x\in \left] -1 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \ln \left(1+x\right).
Donc pour tout x\in \left] -1 ; +\infty \right[, on a f'\left(x\right) = \dfrac{1}{1+x}
Ainsi, f'\left(2\right) = \dfrac{1}{3}.
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\ln \left(1+x\right)-\ln3}{ x-2} = \dfrac{1}{3}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\ln \left(2x\right)-\ln4}{ x-2}
Faire apparaître un taux d'accroissement
On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.
On pose, pour tout x\in \left] 0 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \ln \left(2x\right).
On remarque que f\left(2\right)=\ln 4 .
Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 2 vaut T_2\left(x\right)=\dfrac{\ln \left(2x\right) - \ln\left(4\right)}{x-2}.
Or f est dérivable sur \left] 0 ; +\infty \right[, donc on sait que \lim\limits_{x \to 2}T_2\left(x\right)=f'\left(2\right).
Calculer la limite
Pour tout x\in \left] 0 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \ln \left(2x\right).
Donc pour tout x\in \left] 0 ; +\infty \right[, on a f'\left(x\right) = \dfrac{2}{2x}= \dfrac{1}{x}
Ainsi, f'\left(2\right) = \dfrac{1}{2} .
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\ln \left(2x\right)-\ln4}{ x-2} = \dfrac{1}{2}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\ln \left(x+4\right) -\ln 6}{ x-2}
Faire apparaître un taux d'accroissement
On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.
On pose, pour tout x\in \left] -4 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \ln \left(x+4\right).
On remarque que f\left(2\right)=\ln \left(2+4\right)=ln6.
Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 2 vaut T_2\left(x\right)=\dfrac{\ln \left(x+4\right) - ln6}{\left(x+4\right) -6}.
Or f est dérivable sur \left] -4 ; +\infty \right[, donc on sait que \lim\limits_{x \to 2}T_2\left(x\right)=f'\left(2\right).
Calculer la limite
Or, pour tout x\in \left] -4 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \ln \left(x+4\right).
Donc pour tout x\in \left] -4 ; +\infty \right[, f'\left(x\right) = \dfrac{1}{x+4}.
On a donc f'\left(2\right) = \dfrac{1}{2+4} = \dfrac{1}{6}
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\ln \left(x+4\right) -\ln 6}{ x-2} =\dfrac{1}{6}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\ln \left(x^2+4\right) -\ln 13}{ x-3}
Faire apparaître un taux d'accroissement
On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.
On pose, pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = \ln \left(x^2+4\right).
On remarque que f\left(3\right)=\ln \left(3^2+4\right)=ln13.
Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 3 vaut T_3\left(x\right)=\dfrac{\ln \left(x^2+4\right) - ln13}{x-3}.
Or f est dérivable sur \mathbb{R}, donc on sait que \lim\limits_{x \to 3}T_3\left(x\right)=f'\left(3\right).
Calculer la limite
Or, pour tout x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = \ln \left(x^2+4\right).
Donc pour tout x\in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = \dfrac{2x}{x^2+4}.
On a donc f'\left(3\right) = \dfrac{2\times 3}{3^2+4} = \dfrac{6}{13}
\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\ln \left(x^2+4\right) -\ln 13}{ x-3} = \dfrac{6}{13}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\ln \left(x^2-2x+1\right)}{ x-2}
Faire apparaître un taux d'accroissement
On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.
On pose, pour tout x\in \mathbb{R}-\left\{ 1 \right\}, f\left(x\right) = \ln \left(x^2-2x+1\right).
On remarque que f\left(2\right)=\ln \left(2^2-2\times2 +1\right)=\ln 1 = 0.
Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 2 vaut T_2\left(x\right)=\dfrac{\ln \left(x^2 -2x+1\right) - ln1}{x-2}.
Or f est dérivable sur x\in \mathbb{R}-\left\{ 1 \right\}, donc on sait que \lim\limits_{x \to 2}T_2\left(x\right)=f'\left(2\right).
Calculer la limite
Or, pour tout x\in \mathbb{R}-\left\{ 1 \right\}, f\left(x\right) = \ln \left(x^2-2x+1\right).
Donc pour tout x\in \mathbb{R}-\left\{ 1 \right\}, f'\left(x\right) = \dfrac{2x-2}{x^2-2x+1}.
On a donc f'\left(2\right) = \dfrac{2\times 2-2}{2^2-2\times2+1} = 2.
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\ln \left(x^2-2x+1\right)}{ x-2}=2