La fonction logarithme népérienCours

I

Les propriétés caractéristiques du logarithme népérien

A

La caractérisation

Logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, définie sur \mathbb{R}^{+*} et notée \ln, est définie pour tout réel x strictement positif par :

\ln\left(x\right) = y \Leftrightarrow x = e^{y}

Pour tout réel x strictement positif, \ln\left(x\right) est l'unique réel a vérifiant \exp\left(a\right)=x.

La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont réciproques l'une de l'autre.

Pour tout réel x :

\ln\left(e^{x}\right) = x

Pour tout réel x strictement positif :

e^{\ln\left(x\right)} = x

\ln\left(1\right) = 0

B

Le signe

  • \forall x\in\left] 0;1 \right], \ln\left(x\right)\leqslant 0
  • \forall x\in\left[ 1;+\infty \right[, \ln\left(x\right)\geqslant 0

On a le tableau de signes suivant :

-
C

Les propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs x et y :

\ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)

\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)

\ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)

\ln\left(15\right)=\ln\left(3\times 5\right)=\ln\left(3\right)+\ln\left(5\right)

\ln\left(\dfrac37\right)=\ln\left(3\right)-\ln\left(7\right)

Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :

\ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)

\ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)

\ln\left(8\right)=\ln\left( 2^3\right)=3\ln\left(2\right)

II

Étude du logarithme népérien

A

Les limites

Limites

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :

\lim\limits_{x \to 0^+} \ln\left(x\right) = - \infty

\lim\limits_{x \to +\infty } \ln\left(x\right) = + \infty

Croissances comparées

\lim\limits_{x \to +\infty }\dfrac{\ln\left(x\right)}{x}= 0

\lim\limits_{x \to 0^{+}} x \ln\left(x\right) = 0

Taux d'accroissement

Le nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en 1 étant égal à 1 :

\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{\ln\left(x\right)}{x-1}= 1

En posant le changement de variable x=y+1, on a :

\lim\limits_{y \to 0}\dfrac{\ln\left(1+y\right)}{y}= 1

B

La dérivée

Dérivée

La fonction logarithme népérien est dérivable (et donc continue) sur \mathbb{R}^{+*}. Pour tout réel x strictement positif :

\ln'\left(x\right) =\dfrac{1}{x}

Dérivée de \ln\left(u\right)

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La composée \ln\left(u\right) est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

\left(\ln\left(u\right)\right)'\left(x\right) =\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}

Considérons la fonction définie et dérivable sur \left]-\dfrac12;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\ln\left(2x+1\right).

On pose, pour tout réel x de \left]-\dfrac12;+\infty\right[ :

  • u\left(x\right)=2x+1
  • Comme restriction d'une fonction affine à l'intervalle \left]-\dfrac12;+\infty\right[, u est dérivable sur \left]-\dfrac12;+\infty\right[ et pour tout réel x de \left]-\dfrac12;+\infty\right[, u'\left(x\right)=2

De plus, u\left(x\right)\gt0 sur \left]-\dfrac12;+\infty\right[.

Donc f=\ln\left(u\right) est dérivable sur \left]-\dfrac12;+\infty\right[ et f'=\dfrac{u'}{u}.

Ainsi, pour tout réel x de \left]-\dfrac12;+\infty\right[ :

f'\left(x\right)=\dfrac{2}{2x+1}

C

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \mathbb{R}^{+*}.

-

La droite d’équation y = x - 1 est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse 1 :

-

De plus, les fonctions exponentielle et logarithme népérien étant réciproques, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

-
D

Le logarithme décimal

Logarithme décimal

La fonction logarithme décimal, notée \log, est définie sur \mathbb{R}_{+}^{*} par :

\log\left(x\right) =\dfrac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(10\right)}

  • \log\left(10\right) = 1
  • \log\left(10^n\right) = n, pour tout entier relatif n

\log\left(10^5\right)=5