Soit un objet lancé à t=0 du point O avec vitesse initiale de 15 m.s-1 incliné de 53,1° par rapport à l'horizontale et vers le haut. Le mouvement s'effectue dans le plan (Oxy). L'objet est animé d'un mouvement uniformément varié d'accélération : \overrightarrow{a}=-10\overrightarrow{j}.
Quelle est l'expression du vecteur vitesse de l'objet au cours de son mouvement ?
L'axe des y est pris selon la verticale ascendante et la vitesse initiale vers les x positifs.
On a :
a_x=0 et a_y=-10
Or :
a_x=\dfrac{d v_x}{dt} et a_y=\dfrac{d v_y}{dt}
D'où par recherche des primitives :
v_x\left(t\right)=C_1 et v_y\left(t\right)=-10t+C_2
On connaît la vitesse initiale à l'instant t=0 et ainsi on va déterminer les constantes :
v_x\left(0\right)=15 \times\cos\left(53{,}1°\right)=C_1 et v_y\left(0\right)=15 \times\sin\left(53{,}1°\right)=-10\times 0+C_2
D'où :
C_1=9 et C_2=12
Donc :
v_x\left(t\right)=9 et v_y\left(t\right)=-10t+12
Les composantes de la vitesse sont : v_x\left(t\right)=9 et v_y\left(t\right)=-10t+12 (en m/s).
Quelles sont les expressions horaires de la position de l'objet ?
On a :
v_x\left(t\right)=9 et v_y\left(t\right)=-10t+12
Or :
v_x=\dfrac{d x}{dt} et v_y=\dfrac{d y}{dt}
D'où par recherche des primitives :
x\left(t\right)=9t+D_1 et y\left(t\right)=-10\dfrac{t^2}{2}+12t+D_2
Initialement l'objet est à l'origine O. On détermine ainsi les constantes :
x\left(0\right)=0=9\times0+D_1 et y\left(0\right)=0=-10\times \dfrac{0^2}{2}+12 \times0+D_2
D'où :
D_1=0 et D_2=0
Donc :
x\left(t\right)=9t et y\left(t\right)=-5t^2+12t
Les équations horaires de la position sont : x\left(t\right)=9t et y\left(t\right)=-5t^2+12t.