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La fonction exponentielle

Fonction exponentielle de base \(\displaystyle{q}\)

On appelle fonction exponentielle de base \(\displaystyle{q \gt 0}\), la fonction \(\displaystyle{f}\) définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = q^{x}}\)

Racine \(\displaystyle{n}\) -ième

Soit \(\displaystyle{q\gt0}\). Pour tout entier naturel n non nul, on appelle racine n-ième de q le réel :

\(\displaystyle{q^{\frac1n}}\)

On a alors : \(\displaystyle{ \left( q^{\frac1n} \right)^n = q }\).

Relation fonctionnelle

Soit \(\displaystyle{q\gt0}\). Pour tous réels x et y :

\(\displaystyle{q^{x+y} = q^x \times q^y}\)

La fonction exponentielle de base \(\displaystyle{e}\)

La fonction exponentielle de base \(\displaystyle{e}\) est la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=e^x}\).

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Soient deux réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\), et un entier \(\displaystyle{n}\).

  • \(\displaystyle{e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y}\)
  • \(\displaystyle{e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y}\)
  • \(\displaystyle{e^{x+y} = e^{x} e^{y}}\)
  • \(\displaystyle{e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}}\)
  • \(\displaystyle{e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^{y}}}\)
  • \(\displaystyle{\left(e^{x}\right)^{n} = e^{nx}}\)

Dérivées

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

Fonction Dérivée
\(\displaystyle{e^x}\) \(\displaystyle{e^x}\)
\(\displaystyle{e^{u}}\) \(\displaystyle{u'e^{u}}\)

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