Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{2x+1} = 1
On sait que e^y=1 si et seulement si y=0 donc :
e^{2x+1} = 1
\Leftrightarrow e^{2x+1} = e^{0}
\Leftrightarrow 2x+1 = 0
\Leftrightarrow x = \dfrac{-1}{2}
S = \left\{ -\dfrac{1}{2}\right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{3x}= e
On sait que e=e^1 donc :
e^{3x} =e
\Leftrightarrow e^{3x}=e^{1}
\Leftrightarrow 3x=1
\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}
S = \left\{ \dfrac{1}{3}\right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{-5x} = -2
La fonction exponentielle étant strictement positive sur \mathbb{R}, il n'existe donc pas de solution à cette équation.
S =\varnothing
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{x^2-x-1} = 1
On sait que e^0=1 donc :
e^{x^2-x-1} = 1
\Leftrightarrow e^{x^2-x-1} = e^{0}
\Leftrightarrow x^2-x-1 = 0
On calcule le discriminant du trinôme pour déterminer les solutions de cette équation :
\Delta=\left(-1\right)^{2}-4\times1\times\left(-1\right)=5
\Delta>0 donc le trinôme admet deux racines distinctes :
x_{1}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}
x_{2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
S=\left\{ \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{-3x^2} = e
On sait que e^1=e donc :
e^{-3x^2} = e
\Leftrightarrow e^{-3x^2} = e^{1}
\Leftrightarrow -3x^2 = 1
\Leftrightarrow x^2 = -\dfrac{1}{3}
Un carré est toujours positif, donc l'équation n'admet pas de solution réelle.
S=\varnothing
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{-4x^2-4x+1} = 1
On sait que e^0=1 donc :
e^{-4x^2-4x+1} = 1
\Leftrightarrow e^{-4x^2-4x+1} = e^{0}
\Leftrightarrow -4x^2-4x+1=0
On calcule le discriminant de ce trinôme du second degré pour trouver les solutions de cette équation.
\Delta= \left(-4\right)^2-4\times\left(-4\right)\times1=16+16=32
Ici, \Delta>0 donc le trinôme admet deux racines distinctes :
x_{1} = \dfrac{4-\sqrt{32}}{-8}=\dfrac{4-4\sqrt{2}}{-8}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{-2}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}
x_{2} = \dfrac{4+\sqrt{32}}{-8}=\dfrac{4+4\sqrt{2}}{-8}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{-2}=-\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}
S=\left\{ -\dfrac{\sqrt{2}+1}{2};\dfrac{\sqrt{2}-1}{2} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{x^2-2x+1} = e
On sait que e^1=e donc :
e^{x^2-2x+1} = e
\Leftrightarrow e^{x^2-2x+1} = e^{1}
\Leftrightarrow x^2-2x+1=1
\Leftrightarrow x^2-2x=0
\Leftrightarrow x\left(x-2\right)=0
\Leftrightarrow x=0\text{ ou }x-2=0
\Leftrightarrow x=0\text{ ou }x=2
S=\left\{ 0;2 \right\}