Utiliser les propriétés algébriques de la fonction exponentielle pour transformer une expression Méthode

Sommaire

1Identifier l'exponentielle à transformer 2Effectuer une opération sur l'expression à modifier 3Utiliser les formules du cours

Il est possible de transformer une expression à l'aide des propriétés algébriques de l'exponentielle.

Démontrer l'égalité suivante :

\forall x \in \mathbb{R}, \dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{1}{e^{-2x}+1}

Etape 1

Identifier l'exponentielle à transformer

On identifie l'exponentielle à transformer.

Dans le membre de gauche, il y a un terme e^{3x} qui n'apparaît pas dans le membre de droite. Il faut le modifier.

Etape 2

Effectuer une opération sur l'expression à modifier

Afin de transformer l'expression, on utilise :

  • La factorisation
  • La multiplication du numérateur et du dénominateur par une même exponentielle

Ici, on factorise le numérateur et le dénominateur par e^{3x}. On obtient :

\forall x \in\mathbb{R}, \dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{e^{3x} \times 1}{e^{3x}\left(\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}}+\dfrac{e^{x}}{e^{3x}}\right)}

Etape 3

Utiliser les formules du cours

On utilise des formules du cours afin de simplifier l'expression. On cite la formule utilisée à chaque fois.

On sait que, pour tous réels a et b :

\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}

Ainsi, pour tout réel x :

\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{e^{3x} \times 1}{e^{3x}\left(1+e^{x-3x}\right)}

\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{e^{3x} \times 1}{e^{3x}\left(1+e^{-2x}\right)}

On simplifie par e^{3x}, on en déduit que, pour tout réel x :

\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{1}{1+e^{-2x}}