La fonction exponentielle Cours

Sommaire

ILes exponentielles de base qADéfinitionsBLa relation fonctionnelleCLes propriétés algébriquesDLe sens de variationIIL'exponentielle de base eALa caractérisationBLe signeCLes propriétés algébriquesIIIEtude de la fonction exponentielleALa dérivéeBLe sens de variation
I

Les exponentielles de base q

A

Définitions

Fonction exponentielle de base q

Soit q un réel strictement positif. La fonction qui, à tout entier relatif n, associe q^n, se prolonge en une fonction définie sur \mathbb{R}. On note q^x l'image d'un réel x et on appelle fonction exponentielle de base q la fonction f définie par :

f\left(x\right) = q^{x}

La fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=3^x est la fonction exponentielle de base 3.

Racine n-ième

Pour tout entier naturel non nul n et q réel strictement positif, on appelle racine n-ième de q le réel :

q^{\frac1n}

On a alors :

\left( q^{\frac1n} \right)^n = q

Le nombre 6^{\frac14} est la racine quatrième de 6.

B

La relation fonctionnelle

Relation fonctionnelle

Pour tous réels x, y quelconques et q strictement positif :

q^{x+y} = q^x \times q^y

7^3\times 7^6=7^{3+6}=7^9

C

Les propriétés algébriques

Soient q et q' deux réels strictement positifs, et soient x et y deux réels quelconques. Alors :

q^{-x}=\dfrac{1}{q^x}

\left(q\right)^x\times \left(q'\right) ^x=\left(qq'\right)^x

\left(q^x\right)^y=q^{xy}

\dfrac{q^x}{q^y}=q^{x-y}

7^{-3,2}=\dfrac{1}{7^{3,2}}

2^{4,2}\times 3^{4,2}=\left(2\times3\right)^{4,2}=6^{4,2}

\left(4,5^2\right)^3=4,5^{2\times3}=4,5^6

\dfrac{1,6^7}{1,6^5}=1,6^{7-5}=1,6^2

D

Le sens de variation

Sens de variation

Le sens de variation d'une fonction exponentielle de base q dépend de la valeur de q :

  • Si q \gt 1, la fonction exponentielle de base q est croissante sur \mathbb{R}
  • Si 0\lt q \lt 1, la fonction exponentielle de base q est décroissante sur \mathbb{R}
  • Si q = 1, la fonction exponentielle de base q est constante sur \mathbb{R}
-

Soit q un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base q est convexe sur \mathbb{R}.

II

L'exponentielle de base e

A

La caractérisation

Fonction exponentielle de base e

La fonction exponentielle de base e (ou simplement fonction exponentielle), notée \exp, est la fonction définie sur \mathbb{R} par :

\exp\left(x\right) = e^{x}

e est l'unique réel q tel que le nombre dérivé de l'exponentielle de base q en 0 soit égal à 1.

  • Pour tous réels x et y : \exp\left(x + y\right) = \exp\left(x\right) \times \exp\left(y\right)
  • e=\exp\left(1\right) \approx 2,718.
L'écriture courante de \exp\left(x\right) est e^{x} .
B

Le signe

Pour tout réel x :

e^{x} \gt 0

C

Les propriétés algébriques

Soient deux réels x et y :

e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y

e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y

Soient deux réels x et y. La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances :

e^{x+y} = e^{x} e^{y}

e^{-x} =\dfrac{1}{e^x}

e^{x-y} =\dfrac{e^x}{e^{y}}

\left(e^{x}\right)^{y} = e^{xy}

III

Etude de la fonction exponentielle

A

La dérivée

Dérivée

La fonction exponentielle est dérivable sur \mathbb{R}. Pour tout réel x, on a :

\exp'\left(x\right) = \exp\left(x\right) = e^{x}

Dérivée de e^{u}

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La composée e^{u} est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

\left(e^{u}\right)'\left(x\right) = u'\left(x\right) e^{u\left(x\right)}

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=e^{3x+6}. f est définie et dérivable sur \mathbb{R}. On pose, pour tout réel x :

  • u\left(x\right)=3x+6
  • u'\left(x\right)=3

On a f=e^u, donc f'=u'e^u.

Ainsi, pour tout réel x :

f'\left(x\right)=3e^{3x+6}

B

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.

-

La droite d'équation y = x + 1 est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0.

-

La fonction exponentielle est convexe.