La fonction exponentielleCours

I

Les exponentielles de base q

A

Définitions

Fonction exponentielle de base q

Soit q un réel strictement positif. La fonction qui, à tout entier relatif n, associe q^n, se prolonge en une fonction définie sur \mathbb{R}. On note q^x l'image d'un réel x et on appelle fonction exponentielle de base q la fonction f définie par :

f\left(x\right) = q^{x}

La fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=3^x est la fonction exponentielle de base 3.

Racine n-ième

Pour tout entier naturel non nul n et q réel strictement positif, on appelle racine n-ième de q le réel :

q^{\frac1n}

On a alors :

\left( q^{\frac1n} \right)^n = q

Le nombre 6^{\frac14} est la racine quatrième de 6.

B

La relation fonctionnelle

Relation fonctionnelle

Pour tous réels x, y quelconques et q strictement positif :

q^{x+y} = q^x \times q^y

7^3\times 7^6=7^{3+6}=7^9

C

Les propriétés algébriques

Soient q et q' deux réels strictement positifs, et soient x et y deux réels quelconques. Alors :

q^{-x}=\dfrac{1}{q^x}

\left(q\right)^x\times \left(q'\right) ^x=\left(qq'\right)^x

\left(q^x\right)^y=q^{xy}

\dfrac{q^x}{q^y}=q^{x-y}

7^{-3,2}=\dfrac{1}{7^{3,2}}

2^{4,2}\times 3^{4,2}=\left(2\times3\right)^{4,2}=6^{4,2}

\left(4,5^2\right)^3=4,5^{2\times3}=4,5^6

\dfrac{1,6^7}{1,6^5}=1,6^{7-5}=1,6^2

D

Le sens de variation

Sens de variation

Le sens de variation d'une fonction exponentielle de base q dépend de la valeur de q :

  • Si q \gt 1, la fonction exponentielle de base q est croissante sur \mathbb{R}
  • Si 0\lt q \lt 1, la fonction exponentielle de base q est décroissante sur \mathbb{R}
  • Si q = 1, la fonction exponentielle de base q est constante sur \mathbb{R}
-

Soit q un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base q est convexe sur \mathbb{R}.

II

L'exponentielle de base e

A

La caractérisation

Fonction exponentielle de base e

La fonction exponentielle de base e (ou simplement fonction exponentielle), notée \exp, est la fonction définie sur \mathbb{R} par :

\exp\left(x\right) = e^{x}

e est l'unique réel q tel que le nombre dérivé de l'exponentielle de base q en 0 soit égal à 1.

  • Pour tous réels x et y : \exp\left(x + y\right) = \exp\left(x\right) \times \exp\left(y\right)
  • e=\exp\left(1\right) \approx 2,718.
L'écriture courante de \exp\left(x\right) est e^{x} .
B

Le signe

Pour tout réel x :

e^{x} \gt 0

C

Les propriétés algébriques

Soient deux réels x et y :

e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y

e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y

Soient deux réels x et y. La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances :

e^{x+y} = e^{x} e^{y}

e^{-x} =\dfrac{1}{e^x}

e^{x-y} =\dfrac{e^x}{e^{y}}

\left(e^{x}\right)^{y} = e^{xy}

III

Etude de la fonction exponentielle

A

La dérivée

Dérivée

La fonction exponentielle est dérivable sur \mathbb{R}. Pour tout réel x, on a :

\exp'\left(x\right) = \exp\left(x\right) = e^{x}

Dérivée de e^{u}

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La composée e^{u} est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

\left(e^{u}\right)'\left(x\right) = u'\left(x\right) e^{u\left(x\right)}

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=e^{3x+6}. f est définie et dérivable sur \mathbb{R}. On pose, pour tout réel x :

  • u\left(x\right)=3x+6
  • u'\left(x\right)=3

On a f=e^u, donc f'=u'e^u.

Ainsi, pour tout réel x :

f'\left(x\right)=3e^{3x+6}

B

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.

-

La droite d'équation y = x + 1 est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0.

-

La fonction exponentielle est convexe.