Quelle est la solution de l'équation e^{2x} = e^{x+2} dans \mathbb{R} ?
e^{2x} = e^{x+2}
\Leftrightarrow 2x = x+2
\Leftrightarrow x = 2
S=\left\{ 2\right\}
Quelle est la solution de l'équation e^{7x-18} = e^{3x+5} dans \mathbb{R} ?
e^{7x-18} = e^{3x+5}
\Leftrightarrow 7x-18 = 3x+5
\Leftrightarrow 4x = 23
\Leftrightarrow x = \dfrac{23}{4}
S = \left\{ \dfrac{23}{4} \right\}
Quelle est la solution de l'équation e^{\left(x+1\right)\left(x+2\right) } = e^{x² +5x-2} dans \mathbb{R} ?
e^{\left(x+1\right)\left(x+2\right) } = e^{x² +5x-2}
\Leftrightarrow \left(x+1\right)\left(x+2\right) = x²+5x-2
\Leftrightarrow x^2 +3x+2 = x^2 +5x-2
\Leftrightarrow -2x = -4
\Leftrightarrow x = 2
S = \left\{ 2 \right\}
Quelle est la solution de l'équation e^{-7x+8}\lt e^{2x+2} dans \mathbb{R} ?
e^{-7x+8}\lt e^{2x+2}
\Leftrightarrow -7x+8 \lt 2x+2
\Leftrightarrow -9x \lt -6
\Leftrightarrow x \gt \dfrac{2}{3}
S=\left] \dfrac{2}{3} ; +\infty\right]
Quelle est la solution de l'équation e^{x^2+5x+2}- e^{-x²} \gt 0 dans \mathbb{R} ?
e^{x^2+5x+2}- e^{-x²} \gt 0
\Leftrightarrow e^{x^2+5x+2}\gt e^{-x²}
\Leftrightarrow x^2+5x+2\gt -x^2
\Leftrightarrow 2x^2+5x+2\gt 0
On étudie donc le discriminant de ce trinôme du second degré :
\Delta = b^2 -4ac = 5^2 - 4\times 2\times 2 = 9
\Delta \gt 0 donc le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -a à l'intérieur des racines. On calcule les racines :
- x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-5 -3}{4} = -2
- x_2= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-5 +3}{4} = -\dfrac{1}{2}
Donc e^{x^2+5x+2}\gt e^{-x²} sur \left] -\infty ; -2 \right[ \cup \left] -\dfrac{1}{2}; +\infty\right[
S = \left] -\infty ; -2 \right[ \cup \left] -\dfrac{1}{2}; +\infty\right[
Quelle est la solution de l'équation e^{\frac{x-2}{3x-4}} = 1 dans \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{4}{3} \right\} ?
e^{\frac{x-2}{3x-4}} = 1
\Leftrightarrow e^{\frac{x-2}{3x-4}} = e^0
\Leftrightarrow \dfrac{x-2}{3x-4} = 0
\Leftrightarrow x-2 = 0
\Leftrightarrow x = 2
S = \left\{ 2 \right\}