On a, pour tout réel x, f\left(x\right) =x e^{x}.
Quelle est la valeur de la dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.
On remarque que f = uv avec pour tout réel x :
u\left(x\right)=x et v\left(x\right) =e^x.
On en déduit que f' =u'v +uv' avec, pour tout réel x :
u'\left(x\right) = 1 et v'\left(x\right) =e^x
On en conclut que :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 1\times e^x +x\times e^x
\forall x \in \mathbb{R} f'\left(x\right)= \left(x+1\right)e^x
On a, pour tout réel x \in \mathbb{R}^* , f\left(x\right) =\dfrac{1}{x}e^{2x}.
Quelle est la valeur de la dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}^* en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}^*.
On remarque que f = uv avec \forall x \in \mathbb{R}^* :
u\left(x\right)=\dfrac{1}{x} et v\left(x\right) =e^{2x}.
On en déduit que f' =u'v +uv' avec \forall x \in \mathbb{R}^* :
u'\left(x\right) = -\dfrac{1}{x^2} et v'\left(x\right) =2e^{2x}
On en conclut que :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'\left(x\right) = -\dfrac{1}{x^2}\times e^{2x} +\dfrac{1}{x}\times 2e^{2x} = \dfrac{2x-1}{x^2}e^{2x}
\forall x \in \mathbb{R}^* f'\left(x\right) = \dfrac{2x-1}{x^2}e^{2x}
On a, pour tout réel x, f\left(x\right) =\left(2x-1\right) e^{x}.
Quelle est la valeur de la dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.
On remarque que f = uv avec pour tout réel x :
u\left(x\right)=2x-1 et v\left(x\right) =e^x.
On en déduit que f' =u'v +uv' avec, pour tout réel x :
u'\left(x\right) = 2 et v'\left(x\right) =e^x
On en conclut que :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 2\times e^x +\left(2x-1\right)\times e^x
\forall x \in \mathbb{R} f'\left(x\right)= \left(2x+1\right)e^x
On a, pour tout réel x, f\left(x\right) =\left(e^x-x\right) \left(2e^{x}-3\right).
Quelle est la valeur de la dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.
On remarque que f = uv avec pour tout réel x :
u\left(x\right)=e^x-x et v\left(x\right) = 2e^x-3.
On en déduit que f' =u'v +uv' avec, pour tout réel x :
u'\left(x\right) = e^x-1 et v'\left(x\right) =2e^x
On en conclut que :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = \left(e^x-1\right)\times \left(2e^x-3\right) +\left(e^x-x\right)\times 2e^x =2e^{2x}-3e^x-2e^x+3+2e^{2x}-2xe^x = 4e^{2x}-\left(2x+5\right)e^x +3
\forall x \in \mathbb{R} f'\left(x\right)= 4e^{2x}-\left(2x+5\right)e^x +3
On a, pour tout réel x \gt \ln 4, f\left(x\right) =\sqrt{e^x-4}.
Quelle est la valeur de la dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \left]ln 4 ; +\infty \right[ en tant que produit de fonctions dérivables sur \left]ln 4 ; +\infty \right[.
On remarque que f = \sqrt{u} avec \forall x \in \left]ln 4 ; +\infty \right[ :
u\left(x\right)=e^x-4
On en déduit que f' =\dfrac{u'}{2\sqrt{u}} avec, \forall x \in \left]ln 4 ; +\infty \right[ :
u'\left(x\right) = e^x
On en conclut que :
\forall x \in \left]ln 4 ; +\infty \right[, f'\left(x\right) = \dfrac{e^x}{2\sqrt{e^x-4}}
On a, pour tout réel x, f\left(x\right) =\dfrac{1}{e^{2x-5}}.
Quelle est la valeur de la dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que composée de fonctions dérivables.
On remarque que f = \dfrac{1}{u} avec pour tout réel x :
u\left(x\right)=e^{2x-5}.
On en déduit que f' =\dfrac{-u'}{u^2} avec, pour tout réel x :
u'\left(x\right) = 2e^{2x-5}
On en conclut que :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = \dfrac{-2e^{2x-5}}{\left(e^{2x-5}\right)^2}.
Soit, en simplifiant :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = \dfrac{-2}{e^{2x-5}}
On a, pour tout réel x, f\left(x\right) =\left(e^{3x^2+2x}+x\right)^8.
Quelle est la valeur de la dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.
On remarque que f = u^n avec pour tout réel x :
u\left(x\right)=e^{3x^2+2x}+x.
On en déduit que f' =nu'u^{n-1} avec, pour tout réel x :
u'\left(x\right) = \left(6x+2\right)e^{3x^2+2x} +1
On en conclut que :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =8\left(\left(6x+2\right)e^{3x^2+2x} +1\right)\left(e^{3x^2+2x} +x\right)^7 =\left(\left(48x+16\right)e^{3x^2+2x} +8\right)\left(e^{3x^2+2x} +x\right)^7
\forall x \in \mathbb{R} f'\left(x\right) =\left(\left(48x+16\right)e^{3x^2+2x} +8\right)\left(e^{3x^2+2x} +x\right)^7