Résoudre une équation avec la fonction exponentielle Méthode

Méthode 1

Si l'équation est du type \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)}=e^{v\left(x\right)}}\)

Si on peut se ramener à une équation du type \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)}=e^{v\left(x\right)}}\), on peut faire disparaître les exponentielles.

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'équation suivante :

\(\displaystyle{e^{x-1}= e^{2x}}\)

Etape 1

Faire disparaître les exponentielles

On utilise l'équivalence suivante :

\(\displaystyle{e^{u\left(x\right)}=e^{v\left(x\right)} \Leftrightarrow u\left(x\right) = v\left(x\right)}\)

On a, pour tout réel x :

\(\displaystyle{e^{x-1}= e^{2x} \Leftrightarrow x-1 = 2x}\)

Etape 2

Résoudre la nouvelle équation

On résout ensuite l'équation obtenue.

Or, pour tout réel x :

\(\displaystyle{x-1 = 2x \Leftrightarrow x = -1}\)

Etape 3

Conclure

On conclut sur les solutions de l'équation \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} = e^{v\left(x\right)}}\).

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation est :

\(\displaystyle{S=\left\{ -1 \right\}}\)

Méthode 2

Si l'équation est du type \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} = k}\)

Afin de résoudre une équation du type \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} = k}\), si \(\displaystyle{k \gt0}\) on applique la fonction logarithme aux deux membres de l'égalité pour faire disparaître l'exponentielle.

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'équation suivante :

\(\displaystyle{e^{4x-1}= 3}\)

Etape 1

Utiliser la fonction logarithme pour faire disparaître l'exponentielle

On sait que la fonction exponentielle est toujours positive. Donc l'équation \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} = k}\) n'admet pas de solution si \(\displaystyle{k \lt 0}\).

Si \(\displaystyle{k\gt 0}\), on sait que :

\(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} = k \Leftrightarrow u\left(x\right) = \ln \left(k\right)}\)

\(\displaystyle{3 \gt 0}\), donc pour tout réel x :

\(\displaystyle{e^{4x-1}= 3 \Leftrightarrow 4x-1 = \ln 3}\)

Etape 2

Résoudre la nouvelle équation

On résout l'équation obtenue.

Or, pour tout réel x :

\(\displaystyle{4x-1 = \ln 3 \Leftrightarrow 4x = \ln 3 +1 }\)

Soit :

\(\displaystyle{x = \dfrac{ln3+1}{4}}\)

Etape 3

Conclure

On conclut sur les solutions de l'équation \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} = k}\).

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation est :

\(\displaystyle{S=\left\{ \dfrac{ln3+1}{4}\right\}}\)

Méthode 3

Si l'équation est du type \(\displaystyle{ae^{2u\left(x\right)}+be^{u\left(x\right)}+c = 0}\)

Afin de résoudre une équation du type \(\displaystyle{ae^{2u\left(x\right)}+be^{u\left(x\right)}+c=0}\), on introduit le changement de variable \(\displaystyle{X = e^{u\left(x\right)}}\) pour résoudre l'équation du second degré obtenue avant d'appliquer la fonction logarithme népérien pour revenir à la variable initiale.

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'équation suivante :

\(\displaystyle{e^{2x}+2e^x-3 = 0}\)

Etape 1

Poser \(\displaystyle{X=e^{u\left(x\right)}}\)

On pose la nouvelle variable \(\displaystyle{X=e^{u\left(x\right)}}\).

On pose :

\(\displaystyle{X = e^x}\)

Etape 2

Résoudre la nouvelle équation

On obtient une nouvelle équation de la forme \(\displaystyle{aX^2+bX+c = 0}\).

Afin de résoudre cette équation, on calcule le discriminant du trinôme :

Si \(\displaystyle{\Delta \gt 0}\), le trinôme admet deux racines \(\displaystyle{X_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\) et \(\displaystyle{X_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\).
Si \(\displaystyle{\Delta = 0}\), le trinôme admet une seule racine \(\displaystyle{X_0 =\dfrac{-b}{2a}}\).
Si \(\displaystyle{\Delta \lt 0}\), le trinôme n'admet pas de racine.

L'équation devient :

\(\displaystyle{X^2+2X - 3=0}\)

On reconnaît une équation du second degré, dont on peut déterminer les solutions à l'aide du discriminant :

\(\displaystyle{\Delta= b^2-4ac }\)

\(\displaystyle{\Delta= 2^2-4\times 1 \times \left(-3\right) }\)

\(\displaystyle{\Delta=16}\)

\(\displaystyle{\Delta \gt 0}\), donc l'équation \(\displaystyle{X^2+2X - 3=0}\) admet deux solutions :

\(\displaystyle{X_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 -\sqrt{16}}{2\times 1} =-3}\)
\(\displaystyle{X_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 +\sqrt{16}}{2\times 1} =1}\)

Il arrive parfois que l'équation ne soit pas de la forme \(\displaystyle{aX^2+bX+C = 0}\).

Quand c'est le cas, il faut se ramener à cette forme.

L'équation \(\displaystyle{aX +b + \dfrac{c}{X} = 0}\) n'est pas une équation du second degré. Pour tout réel X non nul :

\(\displaystyle{aX +b + \dfrac{c}{X} = 0 \Leftrightarrow X\left(aX +b + \dfrac{c}{X}\right) = 0 \Leftrightarrow aX^2+bX+c = 0}\)

Etape 3

Donner les solutions de la première équation

On exprime la variable initiale en fonction de la nouvelle variable : \(\displaystyle{x = \ln\left(X\right)}\).

Ainsi, pour chaque solution \(\displaystyle{X_i}\) positive, liée à la nouvelle variable, on détermine la solution correspondante liée à la variable initiale : \(\displaystyle{x_i = \ln\left(X_i\right)}\).

En revanche, la fonction exponentielle étant strictement positive sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), les solutions \(\displaystyle{X_i \leq 0}\) ne correspondent à aucune solution de la variable initiale.

La solution \(\displaystyle{X_1}\) est négative, or l'exponentielle est toujours positive. On ne considère donc que la solution \(\displaystyle{X_2}\).

\(\displaystyle{X_2 = 1}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow e^{x_2} = 1}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x_2 = \ln\left(1\right)= 0}\)

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :

\(\displaystyle{S=\left\{ 0 \right\}}\)