01 76 38 08 47
Logo Kartable
AccueilParcourirRechercheSe connecter

Pour profiter de 10 contenus offerts.

Logo Kartable
AccueilParcourirRechercheSe connecter

Pour profiter de 10 contenus offerts.

  1. Accueil
  2. Première
  3. Mathématiques
  4. Méthode : Résoudre une équation avec la fonction exponentielle

Résoudre une équation avec la fonction exponentielle Méthode

Sommaire

Méthode 1Si l'équation est du type e^{u\left(x\right)}=e^{v\left(x\right)} 1Faire disparaître les exponentielles 2Résoudre la nouvelle équation 3ConclureMéthode 2Si l'équation est du type e^{u\left(x\right)} = k 1Utiliser la fonction logarithme pour faire disparaître l'exponentielle 2Résoudre la nouvelle équation 3ConclureMéthode 3Si l'équation est du type ae^{2u\left(x\right)}+be^{u\left(x\right)}+c = 0 1Poser X=e^{u\left(x\right)} 2Résoudre la nouvelle équation 3Donner les solutions de la première équation

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 31/08/2020 - Conforme au programme 2024-2025

Méthode 1

Si l'équation est du type e^{u\left(x\right)}=e^{v\left(x\right)}

Si on peut se ramener à une équation du type e^{u\left(x\right)}=e^{v\left(x\right)}, on peut faire disparaître les exponentielles.

Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante :

e^{x-1}= e^{2x}

Etape 1

Faire disparaître les exponentielles

On utilise l'équivalence suivante :

e^{u\left(x\right)}=e^{v\left(x\right)} \Leftrightarrow u\left(x\right) = v\left(x\right)

On a, pour tout réel x :

e^{x-1}= e^{2x} \Leftrightarrow x-1 = 2x

Etape 2

Résoudre la nouvelle équation

On résout ensuite l'équation obtenue.

Or, pour tout réel x :

x-1 = 2x \Leftrightarrow x = -1

Etape 3

Conclure

On conclut sur les solutions de l'équation e^{u\left(x\right)} = e^{v\left(x\right)}.

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation est :

S=\left\{ -1 \right\}

Méthode 2

Si l'équation est du type e^{u\left(x\right)} = k

Afin de résoudre une équation du type e^{u\left(x\right)} = k, si k \gt0 on applique la fonction logarithme aux deux membres de l'égalité pour faire disparaître l'exponentielle.

Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante :

e^{4x-1}= 3

Etape 1

Utiliser la fonction logarithme pour faire disparaître l'exponentielle

On sait que la fonction exponentielle est toujours positive. Donc l'équation e^{u\left(x\right)} = k n'admet pas de solution si k \lt 0.

Si k\gt 0, on sait que :

e^{u\left(x\right)} = k \Leftrightarrow u\left(x\right) = \ln \left(k\right)

3 \gt 0, donc pour tout réel x :

e^{4x-1}= 3 \Leftrightarrow 4x-1 = \ln 3

Etape 2

Résoudre la nouvelle équation

On résout l'équation obtenue.

Or, pour tout réel x :

4x-1 = \ln 3 \Leftrightarrow 4x = \ln 3 +1

Soit :

x = \dfrac{ln3+1}{4}

Etape 3

Conclure

On conclut sur les solutions de l'équation e^{u\left(x\right)} = k.

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation est :

S=\left\{ \dfrac{ln3+1}{4}\right\}

Méthode 3

Si l'équation est du type ae^{2u\left(x\right)}+be^{u\left(x\right)}+c = 0

Afin de résoudre une équation du type ae^{2u\left(x\right)}+be^{u\left(x\right)}+c=0, on introduit le changement de variable X = e^{u\left(x\right)} pour résoudre l'équation du second degré obtenue avant d'appliquer la fonction logarithme népérien pour revenir à la variable initiale.

Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante :

e^{2x}+2e^x-3 = 0

Etape 1

Poser X=e^{u\left(x\right)}

On pose la nouvelle variable X=e^{u\left(x\right)}.

On pose :

X = e^x

Etape 2

Résoudre la nouvelle équation

On obtient une nouvelle équation de la forme aX^2+bX+c = 0.

Afin de résoudre cette équation, on calcule le discriminant du trinôme :

  • Si \Delta \gt 0, le trinôme admet deux racines X_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et X_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
  • Si \Delta = 0, le trinôme admet une seule racine X_0 =\dfrac{-b}{2a}.
  • Si \Delta \lt 0, le trinôme n'admet pas de racine.

L'équation devient :

X^2+2X - 3=0

On reconnaît une équation du second degré, dont on peut déterminer les solutions à l'aide du discriminant :

\Delta= b^2-4ac

\Delta= 2^2-4\times 1 \times \left(-3\right)

\Delta=16

\Delta \gt 0, donc l'équation X^2+2X - 3=0 admet deux solutions :

  • X_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 -\sqrt{16}}{2\times 1} =-3
  • X_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 +\sqrt{16}}{2\times 1} =1

Il arrive parfois que l'équation ne soit pas de la forme aX^2+bX+C = 0.

Quand c'est le cas, il faut se ramener à cette forme.

L'équation aX +b + \dfrac{c}{X} = 0 n'est pas une équation du second degré. Pour tout réel X non nul :

aX +b + \dfrac{c}{X} = 0 \Leftrightarrow X\left(aX +b + \dfrac{c}{X}\right) = 0 \Leftrightarrow aX^2+bX+c = 0

Etape 3

Donner les solutions de la première équation

On exprime la variable initiale en fonction de la nouvelle variable : x = \ln\left(X\right).

Ainsi, pour chaque solution X_i positive, liée à la nouvelle variable, on détermine la solution correspondante liée à la variable initiale : x_i = \ln\left(X_i\right).

En revanche, la fonction exponentielle étant strictement positive sur \mathbb{R}, les solutions X_i \leq 0 ne correspondent à aucune solution de la variable initiale.

La solution X_1 est négative, or l'exponentielle est toujours positive. On ne considère donc que la solution X_2.

X_2 = 1

\Leftrightarrow e^{x_2} = 1

\Leftrightarrow x_2 = \ln\left(1\right)= 0

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :

S=\left\{ 0 \right\}

La charte éditoriale garantit la conformité des contenus aux programmes officiels de l'Éducation nationale. en savoir plus

Les cours et exercices sont rédigés par l'équipe éditoriale de Kartable, composéee de professeurs certififés et agrégés. en savoir plus

Voir aussi
  • Cours : Fonction exponentielle
  • Quiz : Fonction exponentielle
  • Exercice : Connaître les caractéristiques de la fonction exponentielle
  • Exercice : Transformer un produit d'exponentielles en exponentielle d'une somme
  • Exercice : Transformer l'exponentielle d'une somme en produit d'exponentielles
  • Exercice : Simplifier une exponentielle à l'aide de la relation exp(x)exp(-x) = 1
  • Exercice : Simplifier une exponentielle à l'aide de la relation exp(x+y) = exp(x)exp(y)
  • Exercice : Transformer un quotient d'exponentielles en exponentielle d'une différence
  • Exercice : Transformer l'exponentielle d'une différence en quotient d'exponentielles
  • Exercice : Simplifier une exponentielle à l'aide de la relation exp(x-y) = exp(x)/exp(y)
  • Exercice : Transformer une puissance d'exponentielle en exponentielle d'un produit
  • Exercice : Transformer l'exponentielle d'un produit en puissance d'exponentielle
  • Exercice : Simplifier une exponentielle à l'aide de la relation exp(x*y) = exp(x)^y
  • Exercice : Simplifier des expressions avec la fonction exponentielle
  • Problème : Démontrer que la suite (exp(na)) est une suite géométrique pour un réel a donné
  • Problème : Étudier une suite géométrique de la forme (exp(na))
  • Problème : Démontrer l'unicité d'une fonction dérivable sur R telle que f(0)=1 et f'=f
  • Problème : Démontrer que exp(x+y) = exp(x)exp(y) pour tous x et y réels
  • Problème : Construire la fonction exponentielle par la méthode d'Euler
  • Exercice : Appliquer une exponentielle sur une égalité
  • Exercice : Enlever l'exponentielle d'une égalité
  • Exercice : Résoudre une équation du type e^a - 1 = 0
  • Exercice : Résoudre une équation du type eu(x)=ev(x)
  • Exercice : Appliquer une exponentielle sur une inégalité
  • Exercice : Enlever l'exponentielle d'une inégalité
  • Exercice : Étudier le signe d'une opération linéaire d'une fonction du type e^a - 1
  • Exercice : Déterminer le signe d'une expression comportant la fonction exponentielle
  • Exercice : Résoudre une inéquation du type e^a < 1 ou e^a > 1
  • Exercice : Résoudre une inéquation du type eu(x)<ev(x)
  • Exercice : Résoudre une inéquation produit avec des membres du type e^a - 1 et e^a - e^b
  • Exercice : Connaître la dérivée d'une fonction exponentielle
  • Exercice : Dériver une somme de fonctions dérivables comprenant une fonction exponentielle sans composition
  • Exercice : Dériver un produit de fonctions dérivables comprenant une fonction exponentielle sans composition
  • Exercice : Dériver un quotient de fonctions dérivables comprenant une fonction exponentielle sans composition
  • Exercice : Dériver la composée d'une fonction affine par la fonction exponentielle
  • Exercice : Dériver une somme de fonctions dérivables comprenant une composée de fonction affine par la fonction exponentielle
  • Exercice : Dériver des expressions comportant la fonction exponentielle
  • Exercice : Dériver un quotient de fonctions dérivables comprenant une composée de fonction affine par la fonction exponentielle
  • Exercice : Modéliser une situation par une croissance ou une décroissance exponentielle
  • Exercice : Étudier les variations d'une fonction de la forme exp(kt) pour k un réel strictement positif
  • Exercice : Étudier les variations d'une fonction de la forme exp(-kt) pour k un réel strictement positif
  • Problème : Étudier une modélisation de croissance exponentielle
  • Problème : Étudier une modélisation de décroissance exponentielle
  • Problème : Démontrer que la fonction exponentielle est strictement positive et croissante
  • Méthode : Utiliser les propriétés algébriques de la fonction exponentielle pour transformer une expression
  • Méthode : Résoudre une inéquation avec la fonction exponentielle

Nos conseillers pédagogiques sont à votre écoute 7j/7

Nos experts chevronnés sont joignables par téléphone et par e-mail pour répondre à toutes vos questions.
Pour comprendre nos services, trouver le bon accompagnement ou simplement souscrire à une offre, n'hésitez pas à les solliciter.

support@kartable.fr
01 76 38 08 47

Téléchargez l'application

Logo application Kartable
KartableWeb, iOS, AndroidÉducation

4,5 / 5  sur  20259  avis

0.00
app androidapp ios
  • Contact
  • Aide
  • Livres
  • Mentions légales
  • Recrutement

© Kartable 2025