Résoudre une équation avec la fonction exponentielleMéthode

On utilise l'équivalence suivante :

e^{u\left(x\right)}=e^{v\left(x\right)} \Leftrightarrow u\left(x\right) = v\left(x\right)

On résout ensuite l'équation obtenue.

On conclut sur les solutions de l'équation e^{u\left(x\right)} = e^{v\left(x\right)}.

On sait que la fonction exponentielle est toujours positive. Donc l'équation e^{u\left(x\right)} = k n'admet pas de solution si k \lt 0.

Si k\gt 0, on sait que :

e^{u\left(x\right)} = k \Leftrightarrow u\left(x\right) = \ln \left(k\right)

On résout l'équation obtenue.

On conclut sur les solutions de l'équation e^{u\left(x\right)} = k.

On pose la nouvelle variable X=e^{u\left(x\right)}.

On obtient une nouvelle équation de la forme aX^2+bX+c = 0.

Afin de résoudre cette équation, on calcule le discriminant du trinôme :

• Si \Delta \gt 0, le trinôme admet deux racines X_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et X_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
• Si \Delta = 0, le trinôme admet une seule racine X_0 =\dfrac{-b}{2a}.
• Si \Delta \lt 0, le trinôme n'admet pas de racine.

On exprime la variable initiale en fonction de la nouvelle variable : x = \ln\left(X\right).

Ainsi, pour chaque solution X_i positive, liée à la nouvelle variable, on détermine la solution correspondante liée à la variable initiale : x_i = \ln\left(X_i\right).

En revanche, la fonction exponentielle étant strictement positive sur \mathbb{R}, les solutions X_i \leq 0 ne correspondent à aucune solution de la variable initiale.