Sommaire
Méthode 1Si l'équation est du type e^{u\left(x\right)}=e^{v\left(x\right)} 1Faire disparaître les exponentielles 2Résoudre la nouvelle équation 3ConclureMéthode 2Si l'équation est du type e^{u\left(x\right)} = k 1Utiliser la fonction logarithme pour faire disparaître l'exponentielle 2Résoudre la nouvelle équation 3ConclureMéthode 3Si l'équation est du type ae^{2u\left(x\right)}+be^{u\left(x\right)}+c = 0 1Poser X=e^{u\left(x\right)} 2Résoudre la nouvelle équation 3Donner les solutions de la première équation Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 31/08/2020 - Conforme au programme 2024-2025
Si l'équation est du type e^{u\left(x\right)}=e^{v\left(x\right)}
Si on peut se ramener à une équation du type e^{u\left(x\right)}=e^{v\left(x\right)}, on peut faire disparaître les exponentielles.
Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante :
e^{x-1}= e^{2x}
Faire disparaître les exponentielles
On utilise l'équivalence suivante :
e^{u\left(x\right)}=e^{v\left(x\right)} \Leftrightarrow u\left(x\right) = v\left(x\right)
On a, pour tout réel x :
e^{x-1}= e^{2x} \Leftrightarrow x-1 = 2x
Résoudre la nouvelle équation
On résout ensuite l'équation obtenue.
Or, pour tout réel x :
x-1 = 2x \Leftrightarrow x = -1
Conclure
On conclut sur les solutions de l'équation e^{u\left(x\right)} = e^{v\left(x\right)}.
Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation est :
S=\left\{ -1 \right\}
Si l'équation est du type e^{u\left(x\right)} = k
Afin de résoudre une équation du type e^{u\left(x\right)} = k, si k \gt0 on applique la fonction logarithme aux deux membres de l'égalité pour faire disparaître l'exponentielle.
Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante :
e^{4x-1}= 3
Utiliser la fonction logarithme pour faire disparaître l'exponentielle
On sait que la fonction exponentielle est toujours positive. Donc l'équation e^{u\left(x\right)} = k n'admet pas de solution si k \lt 0.
Si k\gt 0, on sait que :
e^{u\left(x\right)} = k \Leftrightarrow u\left(x\right) = \ln \left(k\right)
3 \gt 0, donc pour tout réel x :
e^{4x-1}= 3 \Leftrightarrow 4x-1 = \ln 3
Résoudre la nouvelle équation
On résout l'équation obtenue.
Or, pour tout réel x :
4x-1 = \ln 3 \Leftrightarrow 4x = \ln 3 +1
Soit :
x = \dfrac{ln3+1}{4}
Conclure
On conclut sur les solutions de l'équation e^{u\left(x\right)} = k.
Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation est :
S=\left\{ \dfrac{ln3+1}{4}\right\}
Si l'équation est du type ae^{2u\left(x\right)}+be^{u\left(x\right)}+c = 0
Afin de résoudre une équation du type ae^{2u\left(x\right)}+be^{u\left(x\right)}+c=0, on introduit le changement de variable X = e^{u\left(x\right)} pour résoudre l'équation du second degré obtenue avant d'appliquer la fonction logarithme népérien pour revenir à la variable initiale.
Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante :
e^{2x}+2e^x-3 = 0
Poser X=e^{u\left(x\right)}
On pose la nouvelle variable X=e^{u\left(x\right)}.
On pose :
X = e^x
Résoudre la nouvelle équation
On obtient une nouvelle équation de la forme aX^2+bX+c = 0.
Afin de résoudre cette équation, on calcule le discriminant du trinôme :
- Si \Delta \gt 0, le trinôme admet deux racines X_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et X_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
- Si \Delta = 0, le trinôme admet une seule racine X_0 =\dfrac{-b}{2a}.
- Si \Delta \lt 0, le trinôme n'admet pas de racine.
L'équation devient :
X^2+2X - 3=0
On reconnaît une équation du second degré, dont on peut déterminer les solutions à l'aide du discriminant :
\Delta= b^2-4ac
\Delta= 2^2-4\times 1 \times \left(-3\right)
\Delta=16
\Delta \gt 0, donc l'équation X^2+2X - 3=0 admet deux solutions :
- X_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 -\sqrt{16}}{2\times 1} =-3
- X_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 +\sqrt{16}}{2\times 1} =1
Il arrive parfois que l'équation ne soit pas de la forme aX^2+bX+C = 0.
Quand c'est le cas, il faut se ramener à cette forme.
L'équation aX +b + \dfrac{c}{X} = 0 n'est pas une équation du second degré. Pour tout réel X non nul :
aX +b + \dfrac{c}{X} = 0 \Leftrightarrow X\left(aX +b + \dfrac{c}{X}\right) = 0 \Leftrightarrow aX^2+bX+c = 0
Donner les solutions de la première équation
On exprime la variable initiale en fonction de la nouvelle variable : x = \ln\left(X\right).
Ainsi, pour chaque solution X_i positive, liée à la nouvelle variable, on détermine la solution correspondante liée à la variable initiale : x_i = \ln\left(X_i\right).
En revanche, la fonction exponentielle étant strictement positive sur \mathbb{R}, les solutions X_i \leq 0 ne correspondent à aucune solution de la variable initiale.
La solution X_1 est négative, or l'exponentielle est toujours positive. On ne considère donc que la solution X_2.
X_2 = 1
\Leftrightarrow e^{x_2} = 1
\Leftrightarrow x_2 = \ln\left(1\right)= 0
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :
S=\left\{ 0 \right\}