Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{4x-1} = 3
e^{4x-1} = 3
\Leftrightarrow \ln \left(e^{4x-1}\right) = \ln\left(3\right)
\Leftrightarrow 4x-1 = \ln\left(3\right)
\Leftrightarrow 4x= \ln\left(3\right)+1
\Leftrightarrow x=\dfrac{1+ \ln\left(3\right)}{4}
S = \left\{ \dfrac{1+ \ln\left(3\right)}{4}\right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{-5x+2} = 4
e^{-5x+2} = 4
\Leftrightarrow \ln \left(e^{-5x+2}\right) = \ln\left(4\right)
\Leftrightarrow -5x+2 = \ln\left(2^2\right)
\Leftrightarrow -5x+2 = 2 \ln\left(2\right)
\Leftrightarrow -5x= -2+2 \ln\left(2\right)
\Leftrightarrow x=\dfrac{2-2 \ln\left(2\right)}{5}
S= \left\{ \dfrac{2-2 \ln\left(2\right)}{5} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{7x} = 9
e^{7x} = 9
\Leftrightarrow \ln \left(e^{7x}\right) = \ln\left(9\right)
\Leftrightarrow 7x = \ln\left(3^2\right)
\Leftrightarrow 7x= 2 \ln\left(3\right)
\Leftrightarrow x=\dfrac{2 \ln\left(3\right)}{7}
S = \left\{ \dfrac{2 \ln\left(3\right)}{7}\right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{x^2-2x} =5
e^{x^2-2x} =5
\Leftrightarrow \ln \left(e^{x^2-2x}\right) = \ln\left(5\right)
\Leftrightarrow x^2-2x= \ln\left(5\right)
\Leftrightarrow x^2-2x-\ln\left(5\right)= 0
On calcule le discriminant pour résoudre cette équation du second degré :
\Delta=\left(-2\right)^2-4\times1\times\left(-\ln\left(5\right)\right)=4+4\ln\left(5\right)
Le discriminant est positif. L'équation admet deux solutions distinctes.
x_{1}=\dfrac{2+\sqrt{4+4\ln\left(5\right)}}{2}=\dfrac{2+2\sqrt{1+\ln\left(5\right)}}{2}=1+\sqrt{1+\ln\left(5\right)}
x_{1}=\dfrac{2-\sqrt{4+4\ln\left(5\right)}}{2}=\dfrac{2-2\sqrt{1+\ln\left(5\right)}}{2}=1-\sqrt{1+\ln\left(5\right)}
S = \left\{ 1-\sqrt{1+\ln\left(5\right)};1+\sqrt{1+\ln\left(5\right)} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{x^2+x} =2
e^{x^2+x} =2
\Leftrightarrow \ln \left(e^{x^2+x}\right) =\ln\left(2\right)
\Leftrightarrow x^2+x= \ln\left(2\right)
\Leftrightarrow x^2+x-\ln\left(2\right)= 0
On calcule le discriminant pour résoudre cette équation du second degré :
\Delta=1^2-4\times1\times\left(-\ln\left(2\right)\right)=1+4\ln\left(2\right)
\Delta>0 donc l'équation admet deux solutions distinctes :
x_{1}=\dfrac{-1-\sqrt{1+4\ln\left(2\right)}}{2}
x_{2}=\dfrac{-1+\sqrt{1+4\ln\left(2\right)}}{2}
S=\left\{ \dfrac{-1-\sqrt{1+4\ln\left(2\right)}}{2};\dfrac{-1+\sqrt{1+4\ln\left(2\right)}}{2} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{1-2x^2} =6 \ln\left(e\right)
e^{1-2x^2} =6 \ln\left(e\right)
On sait que \ln\left(e\right)=1
e^{1-2x^2} =6
\Leftrightarrow \ln \left(e^{1-2x^2}\right) = \ln\left(6\right)
\Leftrightarrow 1-2x^2= \ln\left(6\right)
\Leftrightarrow -2x^2+1- \ln\left(6\right)= 0
\Leftrightarrow 2x^2=1- \ln\left(6\right)
\Leftrightarrow x^2=\dfrac{1- \ln\left(6\right)}{2}
Or :
\ln\left(6\right)\approx 1{,}8
Donc :
\dfrac{1- \ln\left(6\right)}{2}\lt0
Et comme un carré est toujours positif, cette équation n'a pas de solutions.
S =\varnothing
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{3x^2} =5e
e^{3x^2} =5e
\Leftrightarrow \ln \left(e^{3x^2}\right) = \ln\left(5e\right)
\Leftrightarrow 3x^2= \ln\left(5\right)+\ln\left(e\right)
\Leftrightarrow 3x^2=\ln\left(5\right)+1
\Leftrightarrow x^2=\dfrac{\ln\left(5\right)+1}{3}
Cette quantité étant positive, l'équation admet deux solutions distinctes :
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\ln\left(5\right)+1}{3}}
x_{1}=-\sqrt{\dfrac{\ln\left(5\right)+1}{3}}
S = \left\{ \sqrt{\dfrac{\ln\left(5\right)+1}{3}};-\sqrt{\dfrac{\ln\left(5\right)+1}{3}}\right\}