Terminale S 2015-2016

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La fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\) est \(\displaystyle{f\left(x\right)=\ln\left(x\right)}\).

  • Pour tout réel \(\displaystyle{x}\) : \(\displaystyle{\ln\left(e^{x}\right) = x}\).
  • Pour tout réel \(\displaystyle{x}\) strictement positif : \(\displaystyle{e^{\ln\left(x\right)} = x}\).

Propriétés algébriques de la fonction \(\displaystyle{\ln}\)

Pour tous réels strictement positifs \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\), et tout entier relatif \(\displaystyle{n}\) :

  • \(\displaystyle{\ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)}\)

Limites de la fonction \(\displaystyle{\ln}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0} \ln\left(x\right) = - \infty }\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty } \ln\left(x\right) = + \infty }\)

Croissances comparées

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty }\dfrac{\ln\left(x\right)}{x}= 0}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} x \ln\left(x\right) = 0}\)

Taux d'accroissement

\(\displaystyle{\lim_{x \to 1}\dfrac{\ln\left(x\right)}{x-1}= 1}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{x}= 1}\)

Dérivées

Fonction Dérivée
\(\displaystyle{\ln\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac1x}\)
\(\displaystyle{\ln\left(u\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac{u'}{u}}\)

Logarithme décimal

La fonction logarithme décimal, notée \(\displaystyle{\log}\), est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\) par :

\(\displaystyle{\log\left(x\right) =\dfrac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(10\right)}}\)

Chapitre 6 La fonction logarithme népérien
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