Terminale S 2015-2016
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Terminale S 2015-2016

Les intégrales

I

Aires et intégrales

Soit un repère orthogonal (O;I;J).
On appelle unité d'aire l'aire du rectangle OIAJ, où A est le point de coordonnées (1;1).

-
A

Intégrale d'une fonction continue positive

Intégrale d'une fonction continue positive

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b](a<b), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale baf(x) dx de la fonction f sur [a;b] est égale à l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=a et x=b.

-

Les réels a et b sont appelés bornes d'intégration.

B

Intégrale d'une fonction continue négative

Intégrale d'une fonction continue négative

Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a;b](a<b), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale baf(x) dx de la fonction f sur [a;b] est égale à l'opposé de l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=a et x=b.

-
C

Intégrale d'une fonction continue

Intégrale d'une fonction continue

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b](a<b), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale baf(x) dx de la fonction f sur [a;b] est égale à la différence entre la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses lorsque f est positive, et la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe et l'axe des abscisses lorsque f est négative.
Les surfaces utilisées sont comprises entre les abscisses a et b, et les aires sont exprimées en unités d'aires.

-

Sur le schéma ci-dessus, on a :

baf(x) dx=A1A2

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I tels que a<b. Alors, on pose :

baf(x) dx=abf(x) dx

Aire entre deux courbes

Soient f et g deux fonctions continues sur [a;b] avec f>g sur [a;b]. L'aire située entre les courbes de f et g sur [a;b] est égale à :

ba(f(x)g(x)) dx

Soient f et g deux fonctions continues et définies sur par f(x)=7x8 et g(x)=x23x+1.

Pour tout réel x :

f(x)g(x)=7x8(x23x+1)

f(x)g(x)=x2+10x9

On détermine le signe de ce trinôme du second degré.

Δ=1024×(1)×(9)=10036=64=82

Le trinôme est donc du signe de a (négatif) à l'extérieur des racines, et positif à l'intérieur des racines. On calcule les racines x1 et x2 :

  • x1=1082=9
  • x2=10+82=1

Ainsi, pour tout réel x appartenant à [1;9], f(x)g(x)0. En particulier, pour tout réel x appartenant à [1;2], f(x)g(x)0. Ainsi, pour tout réel x appartenant à [1;2], f(x)g(x).

L'aire entre les courbes représentatives de f et g sur l'intervalle [1;2] est donc donnée par l'intégrale suivante :

21(f(x)g(x)) dx=21(x2+10x9) dx

D

La valeur moyenne d'une fonction

Valeur moyenne d'une fonction

On appelle valeur moyenne de f sur [a;b](a<b) le réel :

1babaf(x) dx

Considérons la fonction f continue et définie sur par f(x)=7x2. Sa valeur moyenne sur l'intervalle [2;5] est donnée par le nombre :

15252f(x) dx=1352(7x2) dx

II

Les propriétés de l'intégrale

A

Les propriétés algébriques

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. a et b deux réels de I, et k un réel quelconque.

aaf(x) dx=0

abf(x) dx=baf(x) dx

bakf(x) dx=kbaf(x) dx

553x8 dx=0

14ex dx=41ex dx

415ex dx=541ex dx

Relation de Chasles :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. a, b et c sont trois réels de I.

baf(x) dx=caf(x) dx+bcf(x) dx

1001ln(x) dx=251ln(x) dx+10025ln(x) dx

Linéarité de l'intégrale :

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. a, b et c sont trois réels de I, et α et β deux réels quelconques.

ba(αf(x)+βg(x)) dx=αbaf(x) dx+βbag(x) dx

313x5+2xx+1 dx=31[3x5x+1+2xx+1] dx=331x5x+1 dx+231xx+1 dx

B

Intégrales de fonctions paires, impaires, périodiques

Si f est une fonction paire et continue sur un intervalle I, alors pour tout réel a de I tel que a appartient à I :

aaf(x) dx=2a0f(x) dx

-

La fonction xx2 est paire donc :

66x2 dx=260x2 dx

Si f est une fonction impaire et continue sur un intervalle I, alors pour tout réel a de I tel que a appartient à I :

aaf(x) dx=0

-

La fonction xx3 est impaire donc :

66x3 dx=0

Si f est une fonction périodique de période T et continue sur , alors pour tout réel a :

T0f(x) dx=a+Taf(x) dx

-

La fonction xcos(x) est 2π -périodique, donc :

2π0cos(x) dx=3ππcos(x) dx

C

Ordre et intégration

Positivité de l'intégrale :

Soient f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que a<b.

Si f(x)0 sur [a;b], alors baf(x) dx0

La fonction f(x)=x2+1 est positive et continue sur l'intervalle [3;5], donc :

53(x2+1) dx0

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que ab.

Si f(x)g(x) sur [a;b], alors baf(x) dxbag(x) dx

Pour tout réel x[3;5], exx. Ces deux fonctions étant continues sur :

53ex dx53x dx

Inégalité de la moyenne

Soient f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que a<b. Soient m et M deux réels tels que mf(x)M sur I. Alors :

m(ba)baf(x) dxM(ba)

Pour tout réel x[3;5], 20ex149 donc :

20(53)53f(x) dx149(53)

Soit :

4053f(x) dx298

III

Primitives et intégrales

A

Relation entre primitives et intégrales

Intégrale

Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I, a et b deux réels de I :

baf(t) dt=F(b)F(a)

Soit f la fonction continue, et définie sur par f(x)=3x+1. F est définie pour tout réel x par F(x)=32x2+x. Soit F une primitive de f sur .

On a :

21f(x) dx=F(2)F(1)=(32×22+2)(32×12+1)=112

F(b)F(a) se note aussi [F(x)]ba

21x dx=[x22]21=222122=4212=32
B

Primitive qui s'annule en a

Primitive qui s'annule en a

Soit f une fonction continue sur I, et a un réel de I. La fonction F définie ci-après pour tout x de I est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a :

F(x)=xaf(t) dt

Soit f une fonction continue sur , définie par f(x)=2x+1. La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en 0 :

F(x)=x0(2t+1) dt=[t2+t]x0=(x2+x)(02+0)=x2+x

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