Les lois à densité - TS - Cours Mathématiques

La densité de probabilité

On considère une expérience aléatoire et un univers associé \(\displaystyle{\Omega}\), muni d'une probabilité P.

Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire continue est une fonction X qui à chaque événement élémentaire de \(\displaystyle{\Omega}\) associe un nombre réel d'un intervalle I de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Loi de probabilité continue et densité de probabilité

Soit f une fonction continue et positive ou nulle sur un intervalle I de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) telle que \(\displaystyle{\int_{I}f\left(x\right) \ \mathrm dx = 1}\).

Soit X une variable aléatoire continue sur \(\displaystyle{\Omega}\).

On dit que f est une densité de probabilité de X si, pour tout intervalle J inclus dans I :

\(\displaystyle{p\left(X\in J\right) =\int_{J}^{}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

Considérons la fonction f définie sur \(\displaystyle{\left[0;2\right]}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{x}{2}}\) :

f est continue sur \(\displaystyle{\left[0;2\right]}\).
f est positive sur \(\displaystyle{\left[0;2\right]}\).
Une primitive de \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{\left[0;2\right]}\) est la fonction F définie sur \(\displaystyle{\left[0;2\right]}\) par \(\displaystyle{F\left(x\right)=\dfrac{x^2}{4}}\). Donc \(\displaystyle{\int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(0\right)=\dfrac44-0=1}\).

Cette fonction est donc une fonction de densité sur \(\displaystyle{\left[0;2\right]}\).

Si \(\displaystyle{I=\left[ a;+\infty \right[}\), on a : \(\displaystyle{\int_{I}f\left(x\right) \ \mathrm dx = \lim_{b \to +\infty}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)
Si \(\displaystyle{I=\left] -\infty;b \right[}\), on a : \(\displaystyle{\int_{I}f\left(x\right) \ \mathrm dx = \lim_{a \to -\infty}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)
Si \(\displaystyle{I=\mathbb{R}}\), on a : \(\displaystyle{\int_{I}f\left(x\right) \ \mathrm dx = \lim_{a \to -\infty;b \to +\infty}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)
Si \(\displaystyle{I=\left[ a;b \right]}\) et \(\displaystyle{J=\left[ c;d \right]\subset\left[ a;b \right]}\), on a : \(\displaystyle{p\left(X\in J\right) =\int_{c}^{d}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

Pour tous réels a et b de I tels que \(\displaystyle{a\leqslant b}\) :

\(\displaystyle{p\left(X \in \left[a ; b\right]\right) = p\left(a \leq X \leq b\right)}\)

Si X est une variable aléatoire admettant une densité de probabilité, alors pour tout réels a et b tels que \(\displaystyle{a\leqslant b}\) :

\(\displaystyle{p\left(X\in\left[a ; b\right]\right) = p\left(X\in\left[a ; b\right[\right) = p\left(X\in\left]a ; b\right]\right) = p\left(X\in\left]a ; b\right[\right)}\)
\(\displaystyle{p\left(X\in\left[a ; a\right]\right) =p\left(X=a\right)= 0}\)
\(\displaystyle{p\left(a \leq X \leq b\right) = p\left(X \leq b\right) - p\left(X \leq a\right) }\)
\(\displaystyle{p\left(X \leq a\right) + p\left(X \gt a\right) = 1 }\)

Espérance

L'espérance d'une variable aléatoire X de densité f sur un intervalle \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\) est :

\(\displaystyle{E\left(X\right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

La loi uniforme sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\)

Loi uniforme

Une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) suit la loi uniforme sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) (\(\displaystyle{a \lt b}\)) si elle admet pour densité la fonction f définie sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{b-a}}\)

Si \(\displaystyle{X}\) suit une loi uniforme sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[4;6\right]}\) alors une densité de probabilité de X est la fonction f définie pour tout x de \(\displaystyle{\left[4;6\right]}\) par : \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{1}{6-4}=\dfrac12}\).

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) (avec \(\displaystyle{a\lt b}\) ), alors pour tous réels c et d tels que \(\displaystyle{a \leq c \leq d \leq b }\) :

\(\displaystyle{p\left(c \leq X \leq d\right) = \dfrac{d-c}{b-a}}\)

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi uniforme sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[2 ; 5\right]}\), alors :

\(\displaystyle{p\left(3\leq X \leq 4\right) = \dfrac{4-3}{5-2}=\dfrac13}\)

La valeur de \(\displaystyle{p\left(X\in\left[c ; d\right]\right)}\) est égale à l'aire de la surface comprise entre la droite d'équation \(\displaystyle{y = \dfrac{1}{b-a}}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(\displaystyle{x = c}\) et \(\displaystyle{x = d}\).

Espérance d'une loi uniforme

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi uniforme sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), son espérance est alors égale à :

\(\displaystyle{E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}}\)

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi uniforme sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[2 ; 5\right]}\), alors :

\(\displaystyle{E\left(X\right)=\dfrac{2+5}{2}=\dfrac72}\)

III

Les lois exponentielles

Loi exponentielle

Soit \(\displaystyle{\lambda}\) un réel strictement positif.
La loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda}\) (ou loi de durée de vie sans vieillissement) a pour densité de probabilité la fonction f définie pour tout réel positif par :

\(\displaystyle{f\left(t\right) = \lambda e^{-\lambda t}}\)

La fonction définie sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=3e^{-3x}}\) est une densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre 3.

Probabilité d'une loi exponentielle

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda}\), et si a et b sont deux réels positifs vérifiant \(\displaystyle{a\leqslant b}\) :

\(\displaystyle{P\left(a \leq X \leq b\right) =\int_{a}^{b}\lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt}\)

Si \(\displaystyle{X}\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda=2}\) alors :

\(\displaystyle{P\left(5\leq X\leq7\right)=\int_{5}^{7} 2e^{-2t} \ \mathrm dt=\left[ -e^{-2t} \right]_5^7=-e^{-14}+e^{-10}}\)

La valeur de \(\displaystyle{P\left(X\in \left[a ; b\right]\right)}\) est égale à l'aire de la surface comprise entre la courbe d'équation \(\displaystyle{y = \lambda e^{-\lambda x}}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(\displaystyle{x = a}\) et \(\displaystyle{x = b}\).

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda}\) (\(\displaystyle{\lambda\gt0}\)). Soit un réel positif \(\displaystyle{a}\).

\(\displaystyle{p\left(X \leq a\right) =\int_{0}^{a}\lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt= 1 - e^{-\lambda a}}\)
\(\displaystyle{p\left(X \gt a\right) = 1 - P\left(X \leq a\right) = e^{-\lambda a}}\)

Si \(\displaystyle{X}\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda=2}\) alors :

\(\displaystyle{P\left(X \leq 3\right)= 1 - e^{-2\times 3}=1-e^{-6}}\)

\(\displaystyle{P\left(X \gt 4\right) = e^{-2\times 4}=e^{-8}}\)

Loi de durée de vie sans vieillissement

Soit T une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda}\) (\(\displaystyle{\lambda\gt0}\)).

Pour tous réels positifs t et h :

\(\displaystyle{P_{\, \left(T \geq t\right)}\left(T\geq t+h\right)=P\left(T\geq h\right)}\)

Soit \(\displaystyle{T}\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda=2}\).

\(\displaystyle{P_{\,\left(T \geq 1\right)}\left(T\geq 5\right)=P_{\, \left(T \geq 1\right)}\left(T\geq 1+4\right)=P\left(T\geq 4\right)}\)

Espérance d'une loi exponentielle

Si \(\displaystyle{X}\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda\gt0}\) alors :

\(\displaystyle{E\left(X\right)=\dfrac{1}{\lambda}}\)

Si \(\displaystyle{X}\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda=10}\) alors : \(\displaystyle{E\left(X\right)=\dfrac{1}{10}=0,1}\).

La loi normale centrée réduite

Loi normale centrée réduite

Une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite notée \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(0;1\right)}\) si elle admet pour densité la fonction de Gauss normalisée f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}}\)

Probabilité d'une loi normale centrée réduite

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite, alors :

\(\displaystyle{p\left(X \leq a\right) =\lim_{x \to -\infty\\} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\ \int_{x }^{a}e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt}\)

La valeur de \(\displaystyle{p\left(X \leq a\right)}\) est égale à l'aire de la surface comprise entre la courbe d'équation \(\displaystyle{y = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}}\), l'axe des abscisses et la droite d'équation \(\displaystyle{x = a}\).

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel \(\displaystyle{\alpha }\) de \(\displaystyle{\left]0;1\right[}\) il existe un unique réel positif \(\displaystyle{u_{\alpha }}\) tel que :

\(\displaystyle{p\left(-u_{\alpha } \leq X \leq u_{\alpha }\right) = 1-\alpha }\)

On a en particulier :

\(\displaystyle{u_{0,05}\approx1,96}\)
\(\displaystyle{u_{0,01}\approx2,58}\)

Espérance de la loi normale centrée réduite

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite, son espérance est alors égale à :

\(\displaystyle{E\left(X\right) = 0}\)

De façon similaire au cas des variables aléatoires discrètes, on peut définir la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire continue par les formules :

\(\displaystyle{V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left(E\left(X\right)\right)^2}\)

\(\displaystyle{\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}}\)

Variance de la loi normale centrée réduite

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite, sa variance (et son écart-type) est alors égale à :

\(\displaystyle{V\left(X\right) = 1}\)

N'ayant pas de primitive de la fonction de densité correspondant à une variable aléatoire suivant une loi \(\displaystyle{N\left(0;1\right)}\), on a besoin de la calculatrice pour déterminer des probabilités d'événements.

La loi normale générale

Loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\)

Une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\) (\(\displaystyle{\mu \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{\sigma \in \mathbb{R}^{+*}}\)) si et seulement si la variable aléatoire \(\displaystyle{\dfrac{X-\mu}{\sigma}}\) suit la loi normale centrée réduite.

Espérance d'une loi normale

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\), son espérance est alors égale à :

\(\displaystyle{E\left(X\right) = \mu}\)

Variance d'une loi normale

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\), sa variance est alors égale à :

\(\displaystyle{V\left(X\right) = \sigma^2}\)

et son écart-type est donc égal à \(\displaystyle{\sigma}\).

On observe que plus \(\displaystyle{\sigma}\) augmente, plus la courbe de la densité de la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\) est "aplatie". De plus, cette courbe est centrée sur la moyenne, c'est-à-dire symétrique par rapport à la droite d'équation \(\displaystyle{x=\mu}\).

Si \(\displaystyle{\mu=0}\) et \(\displaystyle{\sigma=1}\), on retrouve la courbe de Gauss normalisée, soit la loi normale centrée réduite.

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\), on a les valeurs remarquables suivantes :

\(\displaystyle{p\left(\mu - \sigma \leq X \leq\mu + \sigma\right) \approx 0,683}\)

\(\displaystyle{p\left(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma\right) \approx 0,954}\)

\(\displaystyle{p\left(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma\right) \approx 0,997}\)

N'ayant pas de primitive de la fonction de densité correspondant à une variable aléatoire suivant une loi \(\displaystyle{N\left(\mu;\sigma^2\right)}\), on a besoin de la calculatrice pour déterminer des probabilités d'événements.

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