Sommaire
ILa densité de probabilitéIILa loi uniforme sur \left[a ; b\right]IIILes lois exponentiellesIVLa loi normale centrée réduiteVLa loi normale généraleLa densité de probabilité
On considère une expérience aléatoire et un univers associé \Omega, muni d'une probabilité P.
Variable aléatoire continue
Une variable aléatoire continue est une fonction X qui à chaque événement élémentaire de \Omega associe un nombre réel d'un intervalle I de \mathbb{R}.
Loi de probabilité continue et densité de probabilité
Soit f une fonction continue et positive ou nulle sur un intervalle I de \mathbb{R} telle que \int_{I}f\left(x\right) \ \mathrm dx = 1.
Soit X une variable aléatoire continue sur \Omega.
On dit que f est une densité de probabilité de X si, pour tout intervalle J inclus dans I :
p\left(X\in J\right) =\int_{J}^{}f\left(x\right) \ \mathrm dx
Considérons la fonction f définie sur \left[0;2\right] par f\left(x\right)=\dfrac{x}{2} :
- f est continue sur \left[0;2\right].
- f est positive sur \left[0;2\right].
- Une primitive de f sur \left[0;2\right] est la fonction F définie sur \left[0;2\right] par F\left(x\right)=\dfrac{x^2}{4}. Donc \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(0\right)=\dfrac44-0=1.
Cette fonction est donc une fonction de densité sur \left[0;2\right].
- Si I=\left[ a;+\infty \right[, on a : \int_{I}f\left(x\right) \ \mathrm dx = \lim\limits_{b \to +\infty}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
- Si I=\left] -\infty;b \right[, on a : \int_{I}f\left(x\right) \ \mathrm dx = \lim\limits_{a \to -\infty}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
- Si I=\mathbb{R}, on a : \int_{I}f\left(x\right) \ \mathrm dx = \lim\limits_{a \to -\infty;b \to +\infty}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
- Si I=\left[ a;b \right] et J=\left[ c;d \right]\subset\left[ a;b \right], on a : p\left(X\in J\right) =\int_{c}^{d}f\left(x\right) \ \mathrm dx
Pour tous réels a et b de I tels que a\leqslant b :
p\left(X \in \left[a ; b\right]\right) = p\left(a \leq X \leq b\right)
Si X est une variable aléatoire admettant une densité de probabilité, alors pour tout réels a et b tels que a\leqslant b :
- p\left(X\in\left[a ; b\right]\right) = p\left(X\in\left[a ; b\right[\right) = p\left(X\in\left]a ; b\right]\right) = p\left(X\in\left]a ; b\right[\right)
- p\left(X\in\left[a ; a\right]\right) =p\left(X=a\right)= 0
- p\left(a \leq X \leq b\right) = p\left(X \leq b\right) - p\left(X \leq a\right)
- p\left(X \leq a\right) + p\left(X \gt a\right) = 1
Espérance
L'espérance d'une variable aléatoire X de densité f sur un intervalle \left[ a;b \right] est :
E\left(X\right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
La loi uniforme sur \left[a ; b\right]
Loi uniforme
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[a ; b\right] (a \lt b) si elle admet pour densité la fonction f définie sur \left[a ; b\right] par :
f\left(x\right) = \dfrac{1}{b-a}
Si X suit une loi uniforme sur l'intervalle \left[4;6\right] alors une densité de probabilité de X est la fonction f définie pour tout x de \left[4;6\right] par : f\left(x\right)=\dfrac{1}{6-4}=\dfrac12.
Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[a ; b\right] (avec a\lt b ), alors pour tous réels c et d tels que a \leq c \leq d \leq b :
p\left(c \leq X \leq d\right) = \dfrac{d-c}{b-a}
Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[2 ; 5\right], alors :
p\left(3\leq X \leq 4\right) = \dfrac{4-3}{5-2}=\dfrac13
La valeur de p\left(X\in\left[c ; d\right]\right) est égale à l'aire de la surface comprise entre la droite d'équation y = \dfrac{1}{b-a}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = c et x = d.
Espérance d'une loi uniforme
E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}
Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[2 ; 5\right], alors :
E\left(X\right)=\dfrac{2+5}{2}=\dfrac72
Les lois exponentielles
Loi exponentielle
Soit \lambda un réel strictement positif.
La loi exponentielle de paramètre \lambda (ou loi de durée de vie sans vieillissement) a pour densité de probabilité la fonction f définie pour tout réel positif par :
f\left(t\right) = \lambda e^{-\lambda t}
La fonction définie sur \left[0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=3e^{-3x} est une densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre 3.
Probabilité d'une loi exponentielle
Si X suit la loi exponentielle de paramètre \lambda, et si a et b sont deux réels positifs vérifiant a\leqslant b :
P\left(a \leq X \leq b\right) =\int_{a}^{b}\lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt
Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda=2 alors :
P\left(5\leq X\leq7\right)=\int_{5}^{7} 2e^{-2t} \ \mathrm dt=\left[ -e^{-2t} \right]_5^7=-e^{-14}+e^{-10}
La valeur de P\left(X\in \left[a ; b\right]\right) est égale à l'aire de la surface comprise entre la courbe d'équation y = \lambda e^{-\lambda x}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda (\lambda\gt0). Soit un réel positif a.
- p\left(X \leq a\right) =\int_{0}^{a}\lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt= 1 - e^{-\lambda a}
- p\left(X \gt a\right) = 1 - P\left(X \leq a\right) = e^{-\lambda a}
Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda=2 alors :
P\left(X \leq 3\right)= 1 - e^{-2\times 3}=1-e^{-6}
P\left(X \gt 4\right) = e^{-2\times 4}=e^{-8}
Loi de durée de vie sans vieillissement
Soit T une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda (\lambda\gt0).
Pour tous réels positifs t et h :
P_{\, \left(T \geq t\right)}\left(T\geq t+h\right)=P\left(T\geq h\right)
Soit T une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda=2.
P_{\,\left(T \geq 1\right)}\left(T\geq 5\right)=P_{\, \left(T \geq 1\right)}\left(T\geq 1+4\right)=P\left(T\geq 4\right)
Espérance d'une loi exponentielle
Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda\gt0 alors :
E\left(X\right)=\dfrac{1}{\lambda}
Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda=10 alors : E\left(X\right)=\dfrac{1}{10}=0,1.
La loi normale centrée réduite
Loi normale centrée réduite
Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite notée \mathcal{N}\left(0;1\right) si elle admet pour densité la fonction de Gauss normalisée f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}
Probabilité d'une loi normale centrée réduite
Si X suit la loi normale centrée réduite, alors :
p\left(X \leq a\right) =\lim\limits_{x \to -\infty\\} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\ \int_{x }^{a}e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt
La valeur de p\left(X \leq a\right) est égale à l'aire de la surface comprise entre la courbe d'équation y = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}, l'axe des abscisses et la droite d'équation x = a.
Si X suit la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel \alpha de \left]0;1\right[ il existe un unique réel positif u_{\alpha } tel que :
p\left(-u_{\alpha } \leq X \leq u_{\alpha }\right) = 1-\alpha
On a en particulier :
- u_{0,05}\approx1,96
- u_{0,01}\approx2,58
Espérance de la loi normale centrée réduite
Si X suit la loi normale centrée réduite, son espérance est alors égale à :
E\left(X\right) = 0
De façon similaire au cas des variables aléatoires discrètes, on peut définir la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire continue par les formules :
V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left(E\left(X\right)\right)^2
\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}
Variance de la loi normale centrée réduite
Si X suit la loi normale centrée réduite, sa variance (et son écart-type) est alors égale à :
V\left(X\right) = 1
N'ayant pas de primitive de la fonction de densité correspondant à une variable aléatoire suivant une loi N\left(0;1\right), on a besoin de la calculatrice pour déterminer des probabilités d'événements.
La loi normale générale
Loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)
Une variable aléatoire X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right) (\mu \in \mathbb{R}, \sigma \in \mathbb{R}^{+*}) si et seulement si la variable aléatoire \dfrac{X-\mu}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite.
Espérance d'une loi normale
E\left(X\right) = \mu
Variance d'une loi normale
Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), sa variance est alors égale à :
V\left(X\right) = \sigma^2
et son écart-type est donc égal à \sigma.
On observe que plus \sigma augmente, plus la courbe de la densité de la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right) est "aplatie". De plus, cette courbe est centrée sur la moyenne, c'est-à-dire symétrique par rapport à la droite d'équation x=\mu.
Si \mu=0 et \sigma=1, on retrouve la courbe de Gauss normalisée, soit la loi normale centrée réduite.
Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), on a les valeurs remarquables suivantes :
p\left(\mu - \sigma \leq X \leq\mu + \sigma\right) \approx 0,683
p\left(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma\right) \approx 0,954
p\left(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma\right) \approx 0,997
N'ayant pas de primitive de la fonction de densité correspondant à une variable aléatoire suivant une loi N\left(\mu;\sigma^2\right), on a besoin de la calculatrice pour déterminer des probabilités d'événements.