Les lois à densitéCours

I

La densité de probabilité

On considère une expérience aléatoire et un univers associé \Omega, muni d'une probabilité P.

Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire continue est une fonction X qui à chaque événement élémentaire de \Omega associe un nombre réel d'un intervalle I de \mathbb{R}.

Loi de probabilité continue et densité de probabilité

Soit f une fonction continue et positive ou nulle sur un intervalle I de \mathbb{R} telle que \int_{I}f\left(x\right) \ \mathrm dx = 1.

Soit X une variable aléatoire continue sur \Omega.

On dit que f est une densité de probabilité de X si, pour tout intervalle J inclus dans I :

p\left(X\in J\right) =\int_{J}^{}f\left(x\right) \ \mathrm dx

Considérons la fonction f définie sur \left[0;2\right] par f\left(x\right)=\dfrac{x}{2} :

  • f est continue sur \left[0;2\right].
  • f est positive sur \left[0;2\right].
  • Une primitive de f sur \left[0;2\right] est la fonction F définie sur \left[0;2\right] par F\left(x\right)=\dfrac{x^2}{4}. Donc \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(0\right)=\dfrac44-0=1.

Cette fonction est donc une fonction de densité sur \left[0;2\right].

  • Si I=\left[ a;+\infty \right[, on a : \int_{I}f\left(x\right) \ \mathrm dx = \lim\limits_{b \to +\infty}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
  • Si I=\left] -\infty;b \right[, on a : \int_{I}f\left(x\right) \ \mathrm dx = \lim\limits_{a \to -\infty}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
  • Si I=\mathbb{R}, on a : \int_{I}f\left(x\right) \ \mathrm dx = \lim\limits_{a \to -\infty;b \to +\infty}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
  • Si I=\left[ a;b \right] et J=\left[ c;d \right]\subset\left[ a;b \right], on a : p\left(X\in J\right) =\int_{c}^{d}f\left(x\right) \ \mathrm dx

Pour tous réels a et b de I tels que a\leqslant b :

p\left(X \in \left[a ; b\right]\right) = p\left(a \leq X \leq b\right)

Si X est une variable aléatoire admettant une densité de probabilité, alors pour tous réels a et b tels que a\leqslant b :

  • p\left(X\in\left[a ; b\right]\right) = p\left(X\in\left[a ; b\right[\right) = p\left(X\in\left]a ; b\right]\right) = p\left(X\in\left]a ; b\right[\right)
  • p\left(X\in\left[a ; a\right]\right) =p\left(X=a\right)= 0
  • p\left(a \leq X \leq b\right) = p\left(X \leq b\right) - p\left(X \leq a\right)
  • p\left(X \leq a\right) + p\left(X \gt a\right) = 1

Espérance

L'espérance d'une variable aléatoire X de densité f sur un intervalle \left[ a;b \right] est :

E\left(X\right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx

II

La loi uniforme sur \left[a ; b\right]

Loi uniforme

Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[a ; b\right] (a \lt b) si elle admet pour densité la fonction f définie sur \left[a ; b\right] par :

f\left(x\right) = \dfrac{1}{b-a}

Si X suit une loi uniforme sur l'intervalle \left[4;6\right] alors une densité de probabilité de X est la fonction f définie pour tout x de \left[4;6\right] par : f\left(x\right)=\dfrac{1}{6-4}=\dfrac12.

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[a ; b\right] (avec a\lt b ), alors pour tous réels c et d tels que a \leq c \leq d \leq b :

p\left(c \leq X \leq d\right) = \dfrac{d-c}{b-a}

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[2 ; 5\right], alors :

p\left(3\leq X \leq 4\right) = \dfrac{4-3}{5-2}=\dfrac13

La valeur de p\left(X\in\left[c ; d\right]\right) est égale à l'aire de la surface comprise entre la droite d'équation y = \dfrac{1}{b-a}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = c et x = d.

-

Espérance d'une loi uniforme

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[a ; b\right], son espérance est alors égale à :

E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[2 ; 5\right], alors :

E\left(X\right)=\dfrac{2+5}{2}=\dfrac72

III

Les lois exponentielles

Loi exponentielle

Soit \lambda un réel strictement positif.
La loi exponentielle de paramètre \lambda (ou loi de durée de vie sans vieillissement) a pour densité de probabilité la fonction f définie pour tout réel positif par :

f\left(t\right) = \lambda e^{-\lambda t}

La fonction définie sur \left[0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=3e^{-3x} est une densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre 3.

Probabilité d'une loi exponentielle

Si X suit la loi exponentielle de paramètre \lambda, et si a et b sont deux réels positifs vérifiant a\leqslant b :

P\left(a \leq X \leq b\right) =\int_{a}^{b}\lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt

Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda=2 alors :

P\left(5\leq X\leq7\right)=\int_{5}^{7} 2e^{-2t} \ \mathrm dt=\left[ -e^{-2t} \right]_5^7=-e^{-14}+e^{-10}

La valeur de P\left(X\in \left[a ; b\right]\right) est égale à l'aire de la surface comprise entre la courbe d'équation y = \lambda e^{-\lambda x}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b.

-

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda (\lambda\gt0). Soit un réel positif a.

  • p\left(X \leq a\right) =\int_{0}^{a}\lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt= 1 - e^{-\lambda a}
  • p\left(X \gt a\right) = 1 - P\left(X \leq a\right) = e^{-\lambda a}

Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda=2 alors :

P\left(X \leq 3\right)= 1 - e^{-2\times 3}=1-e^{-6}

P\left(X \gt 4\right) = e^{-2\times 4}=e^{-8}

Loi de durée de vie sans vieillissement

Soit T une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda (\lambda\gt0).

Pour tous réels positifs t et h :

P_{\, \left(T \geq t\right)}\left(T\geq t+h\right)=P\left(T\geq h\right)

Soit T une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda=2.

P_{\,\left(T \geq 1\right)}\left(T\geq 5\right)=P_{\, \left(T \geq 1\right)}\left(T\geq 1+4\right)=P\left(T\geq 4\right)

Espérance d'une loi exponentielle

Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda\gt0 alors :

E\left(X\right)=\dfrac{1}{\lambda}

Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda=10 alors : E\left(X\right)=\dfrac{1}{10}=0{,}1.

IV

La loi normale centrée réduite

Loi normale centrée réduite

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite notée \mathcal{N}\left(0;1\right) si elle admet pour densité la fonction de Gauss normalisée f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}

Probabilité d'une loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale centrée réduite, alors :

p\left(X \leq a\right) =\lim\limits_{x \to -\infty\\} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\ \int_{x }^{a}e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt

La valeur de p\left(X \leq a\right) est égale à l'aire de la surface comprise entre la courbe d'équation y = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}, l'axe des abscisses et la droite d'équation x = a.

-

Si X suit la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel \alpha de \left]0;1\right[ il existe un unique réel positif u_{\alpha } tel que :

p\left(-u_{\alpha } \leq X \leq u_{\alpha }\right) = 1-\alpha

On a en particulier :

  • u_{0{,}05}\approx1{,}96
  • u_{0{,}01}\approx2{,}58
-

Espérance de la loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale centrée réduite, son espérance est alors égale à :

E\left(X\right) = 0

De façon similaire au cas des variables aléatoires discrètes, on peut définir la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire continue par les formules :

V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left(E\left(X\right)\right)^2

\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}

Variance de la loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale centrée réduite, sa variance (et son écart-type) est alors égale à :

V\left(X\right) = 1

N'ayant pas de primitive de la fonction de densité correspondant à une variable aléatoire suivant une loi N\left(0;1\right), on a besoin de la calculatrice pour déterminer des probabilités d'événements.

V

La loi normale générale

Loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)

Une variable aléatoire X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right) (\mu \in \mathbb{R}, \sigma \in \mathbb{R}^{+*}) si et seulement si la variable aléatoire \dfrac{X-\mu}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite.

Espérance d'une loi normale

Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), son espérance est alors égale à :

E\left(X\right) = \mu

Variance d'une loi normale

Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), sa variance est alors égale à :

V\left(X\right) = \sigma^2

et son écart-type est donc égal à \sigma.

-

On observe que plus \sigma augmente, plus la courbe de la densité de la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right) est "aplatie". De plus, cette courbe est centrée sur la moyenne, c'est-à-dire symétrique par rapport à la droite d'équation x=\mu.

Si \mu=0 et \sigma=1, on retrouve la courbe de Gauss normalisée, soit la loi normale centrée réduite.

Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), on a les valeurs remarquables suivantes :

p\left(\mu - \sigma \leq X \leq\mu + \sigma\right) \approx 0{,}683

p\left(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma\right) \approx 0{,}954

p\left(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma\right) \approx 0{,}997

N'ayant pas de primitive de la fonction de densité correspondant à une variable aléatoire suivant une loi N\left(\mu;\sigma^2\right), on a besoin de la calculatrice pour déterminer des probabilités d'événements.

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