Les lois à densitéFormulaire

I

Loi uniforme

Loi uniforme sur [a ; b]

Fonction de densité sur \left[a;b\right] f\left(x\right)=\dfrac{1}{b-a}
Probabilité

Pour tous réels c et d tels que a \leq c \leq d \leq b :

P\left(c \leq X \leq d\right) = \dfrac{d-c}{b-a}

Espérance E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}
II

Loi exponentielle

Loi exponentielle de paramètre \lambda\gt0

Fonction de densité sur \left[0;+\infty\right[ f\left(t\right)=\lambda e^{-\lambda t}
Probabilité

P\left(a \leq X \leq b\right) =\int_{a}^{b}\lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt

Espérance E\left(X\right) = \dfrac{1}{\lambda}

Soit un réel positif a.

  • P\left(X \leq a\right) =\int_{0}^{a}\lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt= 1 - e^{-\lambda a}
  • P\left(X \gt a\right) = 1 - P\left(X \leq a\right) = e^{-\lambda a}

Loi de durée de vie sans vieillissement

Soit T une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda (\lambda\gt0).

Pour tous réels positifs t et h :

P_{\left(T\ \geq\ t\right)}\left(T\geq t+h\right)=P\left(T\geq h\right)

III

Loi normale

Loi normale centrée réduite N\left(0;1\right)

Fonction de densité sur \mathbb{R} f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}
Probabilité

P\left(X \leq a\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{a}e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt

Espérance E\left(X\right) = 0
Variance V\left(X\right)=1

Loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)

Définition Une variable aléatoire X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right) si la variable aléatoire \dfrac{X-\mu}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite.
Espérance E\left(X\right) = \mu
Variance V\left(X\right)=\sigma^2

Valeurs remarquables de la loi normale

Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), on a les valeurs remarquables suivantes :

P\left(\mu - \sigma \leq X \leq\mu + \sigma\right) \approx 0{,}68

P\left(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma\right) \approx 0{,}95

P\left(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma\right) \approx 0{,}997