Voici un programme de calcul :
Si l'on choisit 2 comme nombre de départ, quel est le résultat à l'arrivée ?
On fait fonctionner le programme de calcul en choisissant 2 nombre de départ :
- 2
Partie gauche du programme :
- 2 + 2 = 4
- 4 \times 4 = 16
Partie droite du programme :
- 2 \times 5 = 10
- 10 - 3 = 7
Enfin :
- 16 \times 7 = 112
Le résultat obtenu est 112.
Si l'on choisit 2 comme nombre de départ, le résultat à l'arrivée est égal à 112.
Quel est le résultat obtenu à l'arrivée quand on choisit -3 comme nombre de départ ?
On fait fonctionner le programme de calcul en choisissant 2 nombre de départ :
- -3
Partie gauche du programme :
- -3 + 2 = -1
- 4 \times (-1) = -4
Partie droite du programme :
- (-3) \times 5 = -15
- -15 - 3 = -18
Enfin :
- (-4) \times (-18) = 72
Le résultat obtenu est 72.
Si l'on choisit -3 comme nombre de départ, le résultat à l'arrivée est égal à 72.
On choisit x comme nombre de départ.
Parmi les expressions suivantes, lesquelles permettent d'exprimer le résultat à l'arrivée de ce programme de calcul ?
On fait fonctionner le programme de calcul en choisissant x nombre de départ :
- x
Partie gauche du programme :
- x+2
- (x+2)\times4
Partie droite du programme :
- x\times5=5x
- 5x-3
Enfin :
- (x+2)\times4\times{(5x-3)}
Le résultat obtenu est (x+2)\times4\times{(5x-3)}.
Si on développe (x+2)\times4, on obtient alors :
(x+2)\times4=4\times{x}+4\times2=4x+8
Et le résultat obtenu s'exprime ainsi :
(4x+8)(5x-3)
Les expressions qui permettent d'exprimer le résultat à l'arrivée de ce programme de calcul sont (x +2)×4×(5x -3) et (4x+8)(5x-3).
Quels sont les deux nombres de départ qui permettent d'obtenir 0 à l'arrivée ?
Les deux nombres de départ qui permettent d'obtenir 0 à l'arrivée sont les valeurs de x pour lesquelles le programme de calcul donne 0 comme résultat.
Or, si le nombre de départ est x, le résultat obtenu avec le programme de calcul s'exprime ainsi :
(4x+8)(5x-3)
On cherche donc les valeurs de x telles que (4x+8)(5x-3)=0.
Autrement dit, on cherche les solutions de l'équation (4x+8)(5x-3)=0.
Cette équation est une équation produit nul.
Or, on sait qu'un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul.
On est donc ramené à :
4x+8=0 ou 5x-3=0
4x+8\textcolor{Red}{-8}=0\textcolor{Red}{-8} ou 5x-3\textcolor{Red}{+3}=0\textcolor{Red}{+3}
4x=\textcolor{Red}{-8} ou 5x=\textcolor{Red}{3}
\dfrac{4x}{\textcolor{Red}{4}}=\dfrac{-8}{\textcolor{Red}{4}} ou \dfrac{5x}{\textcolor{Red}{5}}=\dfrac{3}{\textcolor{Red}{5}}
Et finalement on obtient :
x=-2 ou x=\dfrac{3}{5}
Les deux nombres de départ qui permettent d'obtenir 0 à l'arrivée sont - 2 et \dfrac{3}{5}.
Quelle est l'expression développée et réduite de (4x+2)(5x-3) ?
On développe l'expression (4x+2)(5x-3) ainsi :
{4x}\times{5x}-{4x}\times3+2\times{5x}-2\times3
En simplifiant, on obtient :
20x^2-12x+10x-6
Et en réduisant, on obtient finalement :
20x^2-2x-6
L'expression développée et réduite de (4x+2)(5x-3) est 20x^2-2x-6.