On considère le programme de calcul suivant :
- Choisir un nombre.
- Prendre le carré de ce nombre.
- Multiplier le résultat par 2.
- Ajouter le nombre de départ.
- Soustraire 66.
Si le nombre choisi au départ est 4, quel est le résultat obtenu ?
On fait fonctionner le programme de calcul en prenant 4 comme nombre de départ :
- 4
- 4^2 = 16
- 2 \times 16 = 32
- 32 + 4 = 36
- 36 - 66 = -30
Le résultat obtenu est -30.
Si le nombre choisi au départ est 4, le résultat obtenu est -30.
Si le nombre choisi au départ est -3, quel est le résultat obtenu ?
On fait fonctionner le programme de calcul en prenant -3 comme nombre de départ :
- -3
- (-3)^2 = 9
- 2 \times 9 = 18
- 18 + (-3) = 15
- 15 - 66 = -51
Le résultat obtenu est -51.
Si le nombre choisi au départ est -3, le résultat obtenu est -51.
On s'intéresse au bloc d'instructions ci-dessous intitulé « Programme de calcul ».
On souhaite le compléter pour calculer le résultat obtenu avec le programme de calcul en fonction du nombre choisi au départ.
On précise que deux variables ont été créées : « Nombre choisi » qui correspond au nombre choisi au départ, et « Résultat ».
Quel est le contenu qui doit être inséré dans les emplacements A et B ?
À la première instruction, on veut calculer le carré du nombre choisi au départ.
Par conséquent, dans A, on doit mettre « Nombre choisi ».
À la deuxième instruction, on doit calculer le double du résultat obtenu précédemment.
Par conséquent, dans B, on doit mettre « 2 ».
Le contenu qui doit être inséré dans les emplacements A et B est le suivant :
- Dans A : « Nombre choisi »
- Dans B : « 2 »
Lucie insère le bloc précédent dans le script ci-dessous et observe la réponse donnée par le lutin :
À quoi correspond la valeur 5,5 donnée comme réponse par le lutin avec le programme de Lucie ?
Le lutin donne comme réponse : « On peut choisir comme nombre de départ 5,5. »
Dans le 5e bloc du script, la variable "nombre choisi" contient donc 5,5 et "résultat" contient 0. Si on regarde le script Programme de calcul, cela signifie que si le nombre de départ est 5,5 alors le résultat du programme est 0.
La valeur 5,5 donnée comme réponse par le lutin avec le programme de Lucie est une valeur possible comme nombre de départ pour que le résultat final soit 0.
On nomme x le nombre choisi au départ.
Quelle est l'expression obtenue par ce programme de calcul en fonction de x ?
On fait fonctionner le programme de calcul en prenant x comme nombre de départ :
- x
- x^2
- 2\times{x^2}=2x^2
- 2x^2+x
- 2x^2+x-66
Le résultat obtenu est 2x^2+x-66.
L'expression obtenue par ce programme de calcul en fonction de x est 2x^2+x-66.
On admet que (2x -11)(x +6) est la forme factorisée de l'expression trouvée à la question précédente.
Pour quelles valeurs de x le résultat obtenu avec le programme est-il égal à 0 ?
On cherche à déterminer les valeurs de x telles que :
(2x -11)(x +6)=0
Cela revient à résoudre l'équation produit nul :
(2x -11)(x +6)=0
On sait qu'un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul.
(2x -11)(x +6)=0 si et seulement si :
2x-11=0 ou x+6=0
2x-11\textcolor{Red}{+11}=0\textcolor{Red}{+11} ou x+6\textcolor{Red}{-6}=0\textcolor{Red}{-6}
2x=11 ou x=-6
x=5{,}5 ou x=-6
Ainsi, les solutions de l'équation (2x -11)(x +6)=0 sont 5,5 et -6.
Les valeurs de x pour lesquelles le résultat obtenu avec le programme est égal à 0 sont -6 et 5,5.