Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} admettant comme vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \cr\cr c \end{pmatrix} non nul, et le point A(x_0;y_0;z_0) appartenant à \mathcal{P}.
Soit un point M(x;y;z), où x, y et z sont des réels.
À quelle condition M appartient-il au plan \mathcal{P} ?
\mathcal{P} admettant comme vecteur normal \overrightarrow{n} et A étant un point de \mathcal{P}, M appartient à \mathcal{P} si et seulement si le vecteur \overrightarrow{AM} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{n}.
En effet, par définition, tout vecteur a la direction de \mathcal{P} s'il est orthogonal à un vecteur normal de \mathcal{P}.
M appartient à \mathcal{P} si et seulement si le vecteur \overrightarrow{AM} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{n}.
On a montré que M appartient à \mathcal{P} si et seulement si le vecteur \overrightarrow{AM} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{n}.
Comment peut-on traduire cette condition sous forme de produit scalaire ?
D'après le cours, \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{n} sont orthogonaux si et seulement si \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n} = 0.
Ainsi, \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n} = 0.
Quelles sont les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} ?
On a A(x_0;y_0;z_0) et M(x;y;z).
Ainsi, \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-x_0 \cr\cr y-y_0 \cr\cr z-z_0 \end{pmatrix}.
On a montré que M appartient au plan \mathcal{P} si et seulement si \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n} = 0.
Quelle est la bonne expression de cette égalité en fonction de a, b, c, x, y, z et d où d = -ax_0-by_0-cz_0 ?
On a :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-x_0 \cr\cr y-y_0 \cr\cr z-z_0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \cr\cr c \end{pmatrix}.
D'où :
\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n} = 0\\\Leftrightarrow a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0\\\\\Leftrightarrow ax-ax_0 + by-by_0 + cz-cz_0 = 0\\\\\Leftrightarrow ax + by + cz-ax_0 -by_0 -cz_0 = 0\\\\\Leftrightarrow ax + by + cz+d = 0\\
Ainsi, la bonne expression est ax + by + cz+d = 0.