On considère les droites de représentations paramétriques :
d_1 \: : \: \left \{ \begin{array}{rcl} x=1+t \\ y=2+2t \\ z= -5-7t \end{array} \right.,\: t\in\mathbb{R}
d_2 \: : \: \left \{ \begin{array}{rcl} x=5-t \\ y=-1+4t \\ z= t \end{array} \right. ,\: t\in\mathbb{R}
Quels sont les vecteurs directeurs de d_1 et d_2 ?
D'après le cours, la droite de représentation paramétrique \left \{ \begin{array}{rcl} x=a+\alpha t \\ y=b+\beta t \\ z=c+\gamma t \end{array} \right., \: t\in\mathbb{R} admet pour vecteur directeur le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}.
On peut donc directement lire les coordonnées de vecteurs directeurs des droites étudiées grâce à leurs représentations paramétriques :
\overrightarrow{u_1} \: \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \cr -7 \end{pmatrix}
\overrightarrow{u_2}\: \begin{pmatrix} -1 \cr 4 \cr 1 \end{pmatrix}
Que peut-on dire de l'orthogonalité de d_1 et d_2 ?
D'après le cours, on sait que les droites d_1 et d_2 sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.
On peut déterminer l'orthogonalité de deux vecteurs dont on connaît les coordonnées grâce au produit scalaire.
\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2} = x_{u_1}x_{u_2}+y_{u_1}y_{u_2}+z_{u_1}z_{u_2} = 1\times (-1) + 2\times4+ (-7) \times 1 = -1+8-7 = 0
Le produit scalaire de \overrightarrow{u_1} et \overrightarrow{u_2} est nul donc les vecteurs sont orthogonaux.
Ainsi, d_1 et d_2 sont orthogonales.
On considère maintenant les droites d et d'de vecteurs directeurs respectifs :
\overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} k \cr -2 \cr 1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{v} \: \begin{pmatrix} k+1 \cr -k \cr 2\end{pmatrix}
Quelles sont les valeurs de k telles que les droites d et d' soient orthogonales ?
Comme à la question précédente, on sait que deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Ici, on a :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \Leftrightarrow k\times (k+1) + (-2) \times (-k) +2\times 1 = 0 \Leftrightarrow k^2+3k+2 = 0
On résout cette équation du second degré.
Son discriminant est :
\Delta= b^2-4ac= 9-8 = 1
Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions qui sont :
k_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} = \dfrac{-3 - 1}{2} = -2
k_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} = \dfrac{-3 + 1}{2} = -1
Les droites d et d' sont donc orthogonales pour k \in \left \{-2;-1\right \} .