Dans le repère (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}), on considère les points A(3 ; \dfrac{1}{5} ; 3), B(9;\dfrac{19}{20} ; 14) et C(12 ; \dfrac{53}{40} ; \dfrac{39}{2}).
Quelles sont les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} ?
D'après le cours, on peut trouver les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} avec les coordonnées des points A et B données par l'énoncé de la manière suivante :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A \end{pmatrix}
En remplaçant par les coordonnées respectives de A et B, on a :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 9-3 \cr\cr \dfrac{19}{20}-\dfrac{1}{5} \cr\cr 14-3 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr \dfrac{19}{20}-\dfrac{4}{20} \cr\cr 11 \end{pmatrix}\\\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr \dfrac{15}{20} \cr\cr 11 \end{pmatrix}
On a donc :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr \dfrac{3}{4} \cr\cr 11 \end{pmatrix}\\
Quelles sont les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC} ?
D'après le cours, on peut trouver les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC} avec les coordonnées des points A et C données par l'énoncé de la manière suivante :
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A \end{pmatrix}
En remplaçant par les coordonnées respectives de A et C, on a :
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 12-3 \cr\cr \dfrac{53}{40}-\dfrac{1}{5} \cr\cr \dfrac{39}{2}-3 \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 9 \cr\cr \dfrac{53}{40}-\dfrac{8}{40} \cr\cr \dfrac{39}{2} - \dfrac{6}{2} \end{pmatrix}\\\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 9 \cr\cr \dfrac{45}{40} \cr\cr \dfrac{33}{2} \end{pmatrix}
On a donc :
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 9 \cr\cr \dfrac{9}{8} \cr\cr \dfrac{33}{2} \end{pmatrix}
Existe-t-il un réel k tel que \overrightarrow{AB}=k\times\overrightarrow{AC} ?
On a trouvé dans les questions précédentes les vecteurs \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr \dfrac{3}{4} \cr\cr 11 \end{pmatrix}\\ et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 9 \cr\cr \dfrac{9}{8} \cr\cr \dfrac{33}{2} \end{pmatrix}.
On cherche un réel k tel que :
\overrightarrow{AB} = k \times \overrightarrow{AC}\\\Leftrightarrow\begin{pmatrix} 6 \cr\cr \dfrac{3}{4} \cr\cr 11 \end{pmatrix} = k \times \begin{pmatrix} 9 \cr\cr \dfrac{9}{8} \cr\cr \dfrac{33}{2} \end{pmatrix}\\\Leftrightarrow\begin{cases} 6 = k\times 9 \cr \cr \dfrac{3}{4} = k\times \dfrac{9}{8} \cr \cr 11 = k \times\dfrac{33}{2} \end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} k = \dfrac{6}{9} \cr \cr k = \dfrac{3\times 8}{4\times 9} \cr \cr k = \dfrac{11\times 2}{33} \end{cases}\\\\\Leftrightarrow\begin{cases} k = \dfrac{6}{9} \cr \cr k = \dfrac{3\times 8}{4\times 9} \cr \cr k = \dfrac{11\times 2}{33} \end{cases}\\\\\Leftrightarrow\begin{cases} k = \dfrac{2}{3} \cr \cr k = \dfrac{3\times 4 \times 2}{4\times 3 \times 3} \cr \cr k = \dfrac{11\times 2}{11\times 3} \end{cases}\\\\\Leftrightarrow\begin{cases} k = \dfrac{2}{3} \cr \cr k = \dfrac{2}{3} \cr \cr k = \dfrac{2}{3} \end{cases}\\
On a donc :
\overrightarrow{AB}=k\times\overrightarrow{AC} avec k=\dfrac{2}{3}
Les points A, B et C sont-ils alignés ?
On a montré que \overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\times\overrightarrow{AC}. Or, d'après le cours, s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k \times \overrightarrow{v}, alors les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.
Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont donc colinéaires.
On peut donc en déduire que les points A, B et C font partie d'une même droite.
A, B et C sont donc alignés.