On considère les vecteurs :
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr 6 \cr -2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} \dfrac{-6}{5} \cr \dfrac{-12}{5} \cr \dfrac{4}{5} \end{pmatrix}
Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont-ils colinéaires ?
D'après le cours, deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel t tel que : \overrightarrow{u} = t \times \overrightarrow{v} .
Ici, on a :
\overrightarrow{AB} = \dfrac{-2}{5} \times \overrightarrow{CD}
Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont donc colinéaires.
On considère les points :
A (1;3;-2)
B (4;0;2)
C (-2 ; y_C ; z_C)
Quelles sont les valeurs de y_C et z_C pour que les points A, B et C soient alignés ?
Les points A, B et C sont alignés si et seulement si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.
Ici on a :
\overrightarrow{AB} \: \begin{pmatrix}x_B - x_A \cr y_B - y_A \cr z_B - z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cr -3 \cr 4 \end{pmatrix}
et :
\overrightarrow{AC} \: \begin{pmatrix}x_C- x_A \cr y_C - y_A \cr z_C - z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \cr y_C -3 \cr z_C +2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AC}.
Or, \overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AC}.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} 3=-3k \\ -3=(y_C-3)k \\4=(z_C+2)k \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} k=-1 \\ -3=-y_C+3\\4=-z_C-2 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} k=-1 \\ y_C=6\\z_C=-6\end{array} \right.
Ainsi, y_C=6 et z_C=-6.
On considère les vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -3 \cr y \cr 5 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 2 \cr -4 \cr z \end{pmatrix} .
Quelles sont les valeurs de y et z tels que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} soient colinéaires ?
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}.
Or \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v} .
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} -3=2k \\ y=-4k \\5=zk \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} k=\dfrac{-3}{2} \\ y=-4\times\dfrac{-3}{2}\\5\times\dfrac{-2}{3}=z\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} k=\dfrac{-3}{2} \\ y=6\\z=\dfrac{-10}{3}\end{array} \right.
Ainsi, y=6 et z=\dfrac{-10}{3}.