On considère le plan qui a pour représentation paramétrique :
P \ : \left \{ \begin{array}{rcl} x= 2 +t -2t' \\ y=-1 +2t +t' \\ z= 3 +t -2t' \end{array} \right. \: t et t' \in \mathbb{R}
Quels sont les deux vecteurs non colinéaires de P ?
D'après le cours, on peut directement lire les coordonnées de vecteurs d'un plan grâce à sa représentation paramétrique.
Ainsi, \overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \cr 1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \: \begin{pmatrix} -2 \cr 1 \cr -2 \end{pmatrix} sont des vecteurs non colinéaires de P.
Quelles sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan P ?
Soit \overrightarrow{w} un vecteur normal au plan P.
D'après le cours \overrightarrow{w} est donc orthogonal à tous les vecteurs de P et en particulier avec les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} déterminés à la question précédente.
Soit \begin{pmatrix} a \cr b \cr c \end{pmatrix} les coordonnées de \overrightarrow{w} .
Ces coordonnées sont solution du système :
\left \{ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}=0 \\ \overrightarrow{v} \cdot\overrightarrow{w} =0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} a+2b+c=0 \\ -2a+b-2c=0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} a+2b+c=0 \\ 5b=0 \end{array} \right. en réalisant l'opération L_2 \leftarrow L_2 +2L_1
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} a=-c \\ b=0 \end{array} \right.
Ainsi, le vecteur \overrightarrow{w} \: \begin{pmatrix} 1 \cr 0 \cr -1 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan P.
Quelle est l'équation cartésienne du plan P ?
Comme \overrightarrow{w} \: \begin{pmatrix} 1 \cr 0 \cr -1 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan P, l'équation cartésienne du plan P est de la forme :
x-z +d =0
Avec d un réel à déterminer.
De plus, d'après la représentation paramétrique de P donnée à la question 1, le point A \: (2;-1;3 ) est un point de P donc :
x_A - z_A +d=0 \Leftrightarrow d=1
L'équation cartésienne de P est donc x-z+1=0.
On considère le plan P' d'équation cartésienne :
2x+3y+2z+6=0
Que peut-on dire de la position relative des plans P et P' ?
D'après le cours, deux plans sont orthogonaux si et seulement si un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre. On a déterminé un vecteur normal du plan P dans la question 2 :
\overrightarrow{w} \: \begin{pmatrix} 1 \cr 0 \cr -1 \end{pmatrix}
De plus, on peut trouver un vecteur normal au plan P' aisément grâce à son équation cartésienne :
Le vecteur \overrightarrow{w'} \: \begin{pmatrix} 2 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} est un vecteur normal du plan P'.
De plus :
\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w'} = 1 \times 2 + 0 \times 3 + (-1) \times 2 = 0
Donc les vecteurs \overrightarrow{w} et \overrightarrow{w'} sont orthogonaux.
Ainsi, un vecteur normal à P est orthogonal à un vecteur normal à P' donc les plans P et P' sont orthogonaux.