On considère le plan P dont un vecteur normal est donné par \overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 4 \cr -2 \cr 1 \end{pmatrix} passant par A \:(1;-2;3).
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une équation cartésienne du plan P ?
D'après le cours, comme \overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan P, le plan P admet une équation cartésienne du type :
4x-2y+z+d=0
Il nous faut maintenant déterminer la valeur de d.
Comme A \in P , on a :
4x_A-2y_A +z_A +d=0 \Leftrightarrow 4 \times 1 -2 \times -2 +3 \times 1 +d =0 \Leftrightarrow d = -11
Ainsi, une équation cartésienne du plan P est 4x-2y+z-11=0.
On considère maintenant la droite d passant par B \: (2;0;-1) et dont le vecteur directeur est \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -1 \cr 2 \cr -2 \end{pmatrix} .
Quelle est la position relative de la droite d et du plan P ?
D'après le cours, une droite et un plan sont soit sécants soit parallèles.
\overrightarrow{u} est un vecteur directeur de d, \overrightarrow{v} est un vecteur normal au plan P.
d est parallèle à P si et seulement si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux.
\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -1\cr 2 \cr-2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 4\cr -2 \cr1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-1\times 4+2\times (-2)+(-2)\times 1.
\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-10.
\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}\neq 0.
Donc les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas orthogonaux.
Ainsi, la droite d et le plan P sont sécants.
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection entre d et P ?
Afin d'étudier l'intersection entre un plan et une droite, il faut tout d'abord déterminer une représentation paramétrique de la droite d.
La droite d a pour vecteur directeur \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -1 \cr 2 \cr -2 \end{pmatrix} et passe par B(2;0;-1).
Elle admet donc comme représentation paramétrique :
d \: : \: \left \{ \begin{array}{rcl} x=2-t \\ y=2t \\z=-1 -2t \end{array} \right. avec t \in \mathbb{R}
On note C (x;y;z) le point d'intersection de d et P.
Les coordonnées de C sont solution du système :
\: \left \{ \begin{array}{rcl} x=2-t \\ y=2t \\z=-1 -2t \\ 4x-2y+z-11=0 \end{array} \right. avec t \in \mathbb{R}
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} x=2-t \\ y=2t \\z=-1 -2t \\ 4(2-t)-2(2t)-1-2t-11=0\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} x=2-t \\ y=2t \\z=-1 -2t \\ -10t -4=0\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} x=2+\dfrac{2}{5} \\ y=2\times \dfrac{-2}{5} \\z=-1 +2\dfrac{2}{5} \\ t=\dfrac{-2}{5}\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{12}{5} \\ y={-4}{5} \\z=\dfrac{-1}{5} \\ t=\dfrac{-2}{5}\end{array} \right.
Ainsi, le point d'intersection entre d et P est C \left(\dfrac{12}{5} ; \dfrac{-4}{5} ; \dfrac{-1}{5} \right).