Dans cet exercice, on se propose d'étudier deux méthodes pour déterminer l'intersection entre deux plans à partir de leur représentation paramétrique.
Soient les plans suivants :
P_1 \: \left \{ \begin{array}{rcl} x=1+t-2t' \\ y=3-t+t' \\ z=2-t-2t' \end{array} \right. avec t et t' \in \mathbb{R}
P_2 \: \left \{ \begin{array}{rcl} x=2+t \\ y=1-t-t' \\ z=2-t+t' \end{array} \right. avec t et t' \in \mathbb{R}
Quel vecteur normal à P_1 peut-on déterminer ?
Soit \overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} a \cr b \cr c \end{pmatrix} un vecteur normal à P_1.
D'après le cours, \overrightarrow{u} est normal au planP_1 si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P_1. On peut déterminer les coordonnées de deux vecteurs de P_1 grâce à sa représentation paramétrique :
\overrightarrow{v_1} \: \begin{pmatrix} 1 \cr -1 \cr -1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{v_2} \: \begin{pmatrix} -2 \cr 1 \cr -2 \end{pmatrix} sont des vecteurs de P_1. De plus ils ne sont pas colinéaires.
Donc :
\overrightarrow{u} est normal à P_1
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v_1} = 0 \\ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v_2} = 0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl}a-b-c=0 \\ -2a+b-2c =0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl}a=b+c \\ -2(b+c)+b-2c =0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl}a=-3c \\ b=-4c \end{array} \right.
En posant c=1, on obtient :
\overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} -3 \cr -4 \cr 1 \end{pmatrix} est normal à P_1.
Quelle équation cartésienne de P_1 peut-on déterminer ?
D'après la question précédente :
\overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} -3 \cr -4 \cr 1 \end{pmatrix} est un vecteur normal à P_1.
Ainsi, une équation cartésienne de P_1 est de la forme :
-3x -4y+z+d=0 où d est un réel à déterminer.
De plus, grâce à l'équation paramétrique de P_1, on sait que le point de coordonnées (1;3;2) appartient à P_1.
Donc :
-3 \times 1 -4 \times 3 + 2 +d =0 \Leftrightarrow d=13
Ainsi, une équation cartésienne de P_1 est : -3x-4y+z+13=0.
On donne une équation cartésienne de P_2 :
2x+y+z-7=0
À partir de la réponse à la question précédente et de cette équation, quelle intersection entre P_2 et P_1 peut-on déterminer ?
Soit M \: (x;y;z ) un point d'intersection entre les plans P_1 et P_2.
Ainsi :
\left \{ \begin{array}{rcl} M \in P_1 \\ M \in P_2 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} -3x-4y+z+13=0 \\ 2x+y+z-7=0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} z=3x+4y-13 \\ 2x+y+(3x+4y-13)-7=0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} z=3x+4y-13 \\ x=-y+4 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} z=3(-y+4)+4y-13=y-1\\ x=-y+4 \end{array} \right.
En prenant y comme paramètre, la représentation paramétrique de l'intersection entre P_1 et P_2 est :
\left \{ \begin{array}{rcl} x=-t+4 \\ y=t \\z= t-1\end{array} \right. avec t \: \in \mathbb{R}