On considère les vecteurs \overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} -2 \cr 1 \cr -1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \: \begin{pmatrix} 3 \cr -1 \cr 0 \end{pmatrix} ainsi que le point B \: (1;-2;3).
Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} et le point B définissent-ils un plan ?
D'après le cours, deux vecteurs et un point de l'espace définissent un plan si et seulement si les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires \Leftrightarrow il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} x_u=kx_v \\ y_u=ky_v \\ z_u=kz_v \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} -2=3k \\ 1=-k \\ -1=k \times 0 \end{array} \right. .
La dernière ligne du système prouve que le système n'a pas de solution.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires donc ils définissent bien un plan avec le point B.
Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} et le point B définissent donc un plan.
On nomme P le plan défini par les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} et le point B.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une représentation paramétrique correcte du plan P ?
D'après le cours, une représentation paramétrique du plan défini par les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} et le point B est :
\left \{ \begin{array}{rcl} x=x_B + x_ut+x_vt' \\ y=y_B + y_ut+y_vt' \\ z=z_B + z_ut+z_vt' \end{array} \right. avec t \in \mathbb{R} et t' \in \mathbb{R}
Ici, en remplaçant simplement par les coordonnées données dans l'énoncé, une représentation paramétrique du plan P est :
\left \{ \begin{array}{rcl} x=1-2t+3t' \\ y=-2+t-t' \\ z=3-t \end{array} \right. avec t \in \mathbb{R} et t' \in \mathbb{R}
Ainsi, une représentation paramétrique du plan P est :
\left \{ \begin{array}{rcl} x=1-2t+3t' \\ y=-2+t-t' \\ z=3-t \end{array} \right. avec t \in \mathbb{R} et t' \in \mathbb{R}
On donne la droite d de représentation paramétrique :
d \: : \: \left \{ \begin{array}{rcl} x=2+4t \\ y=5-2t \\ z=1+2t \end{array} \right. avec t \in \mathbb{R}
Que peut-on dire de la position relative de la droite d et du plan P ?
D'après le cours, il y a deux possibilités pour la position relative entre un plan et une droite :
- La droite et le plan sont parallèles. Dans ce cas le plan et la droite peuvent être confondus ou non.
- La droite et le plan sont sécants.
Ici, d'après la représentation paramétrique de la droite d, un vecteur directeur de d est \overrightarrow{w} \: \begin{pmatrix} 4 \cr -2 \cr 2 \end{pmatrix} .
On remarque que : \overrightarrow{w} = -2 \overrightarrow{u} , avec \overrightarrow{u} un vecteur ayant la direction du plan P.
Donc \overrightarrow{u} et \overrightarrow{w} sont colinéaires, donc d est parallèle à une droite du plan P.
Ainsi, d'après le cours, la droite d est parallèle au plan P.
Il faut maintenant déterminer si la droite d est incluse dans le plan P.
Pour cela, on détermine si le point A \: (2;5;1) appartenant à d est dans P.
On cherche donc s'il existe deux réels t et t' tels que :
\left \{ \begin{array}{rcl} 2=1-2t+3t' \\ 5=-2+t-t' \\ 1=3-t \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} t'=\dfrac{5}{3} \\ t'=-5 \\ t=2 \end{array} \right.
Ce système n'a pas de solution donc A n'appartient pas au plan P.
La droite d et le plan P sont donc strictement parallèles.