Reconnaître graphiquement un plan à l'aide de son équation cartésienne Exercice

Ici, on a l'équation cartésienne x=0 qui peut aussi s'écrire x + 0y + 0z =0.

D'après le cours, on peut déduire qu'un vecteur normal de \mathcal{P} est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 0 \end{pmatrix}.

Ce vecteur correspond à un vecteur colinéaire à l'axe des abscisses.

L'axe des abscisses admettant \overrightarrow{n} comme vecteur directeur, la bonne représentation graphique du plan \mathcal{P} est celle où l'axe des abscisses est perpendiculaire à \mathcal{P}.

Ici, on a l'équation cartésienne y=0 qui peut aussi s'écrire 0x + y + 0z =0.

D'après le cours, on peut déduire qu'un vecteur normal de \mathcal{P} est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix}.

Ce vecteur correspond à un vecteur colinéaire à l'axe des ordonnées sur le graphique.

L'axe des ordonnées admettant \overrightarrow{n} comme vecteur directeur, la bonne représentation graphique du plan \mathcal{P} est celle où l'axe des ordonnées est perpendiculaire à \mathcal{P}.

Ici, on a l'équation cartésienne 3x - y - z=0.
On remarque que le point O\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr 0 \end{pmatrix} appartient au plan \mathcal{P}.
En effet, 3\times 0 - 0 - 0 = 0.

Ici, on a l'équation cartésienne 2x + 2y + z + 3=0.
On remarque que le point O(0;0;0) n'appartient pas au plan \mathcal{P}.
En effet, 3\times 0 + 2\times 0 + 0 + 3 = 3 \neq 0.

Et on remarque que le point A(-1{,}5;0;0) appartient au plan \mathcal{P}.

En effet, 3\times (-1{,}5) + 2\times 0 + 0 + 3 = -3+3 =0.

Ici, on a l'équation cartésienne x - y + z - 2 =0.

On cherche les points où le plan \mathcal{P} coupe les axes.

 

• Le point d'intersection entre \mathcal{P} et l'axe des abscisses :

On cherche le point M_x\left(x_{M_x};0;0\right).
On peut écrire :
x_{M_x} - 0 + 0 - 2 =0\\\Leftrightarrow x_{M_x} = 2
D'où  M_x\left(2;0;0\right).

 

• Le point d'intersection entre \mathcal{P} et l'axe des ordonnées :

On cherche le point M_y\left(0;y_{M_y};0\right).
On peut écrire :
0 - y_{M_y} + 0 - 2 =0\\\Leftrightarrow y_{M_y} = -2
D'où  M_y\left(0;-2;0\right).

 

•  Le point d'intersection entre \mathcal{P} et l'axe des côtes :

On cherche le point M_z\left(0;0;z_{M_z}\right).
On peut écrire :
0 - 0 + z_{M_Z} - 2 =0\\\Leftrightarrow z_{M_Z} = 2
D'où M_z\left(0;0;2\right).

Le plan \mathcal{P} coupe donc les axes en les points M_x\left(2;0;0\right),  M_y\left(0;-2;0\right)  et  M_z\left(0;0;2\right).