Soit ABCDEFGH un cube d'arrête 1. On considère dans cet exercice le repère orthonormé A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}.
Quelles sont les coordonnées de \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{CH} ?
Pour déterminer les coordonnées de vecteurs définis par des points, on cherche les coordonnées des points.
Ici, on a :
A \: \begin{pmatrix} 0 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}
C \: \begin{pmatrix} 1 \cr 1 \cr 0 \end{pmatrix}
H \: \begin{pmatrix} 0 \cr 1 \cr 1 \end{pmatrix}
Donc :
\overrightarrow{AC} \: \begin{pmatrix} x_C -x_A \cr y_C - y_A \cr z_C - z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cr 1 \cr 0 \end{pmatrix}
\overrightarrow{CH} \: \begin{pmatrix} x_H -x_C \cr y_H - y_C \cr z_H - z_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-1 \cr 1-1 \cr 1-0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \cr 0 \cr 1 \end{pmatrix}
Ainsi, on obtient :
\overrightarrow{AC} \: \begin{pmatrix} 1 \cr 1 \cr 0 \end{pmatrix}
\overrightarrow{CH} \: \begin{pmatrix} -1 \cr 0 \cr 1 \end{pmatrix}
Quelles sont les coordonnées d'un vecteur \overrightarrow{u} orthogonal à \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{CH} ?
Soit \overrightarrow{u} un vecteur orthogonal à \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{CH}, de coordonnées \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix} .
\overrightarrow{u} est colinéaire à \overrightarrow{AC}, donc :
\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{AC} =0 \Leftrightarrow x+y = 0
\overrightarrow{u} est colinéaire à \overrightarrow{CH}, donc :
\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{AC} =0 \Leftrightarrow -x+z = 0
Toutes les informations ont été utilisées.
Ici, on peut donc fixer l'une des coordonnées afin de trouver les deux autres.
On pose x=1.
Donc x+y=0 \Leftrightarrow y=-1 et -x+z=0 \Leftrightarrow z=1 .
Ainsi, le vecteur \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 1\cr -1 \cr 1 \end{pmatrix} est orthogonal à \overrightarrow{CH} et à \overrightarrow{AC}.
Que peut-on dire du vecteur \overrightarrow{u} et du plan ACH ?
De manière évidente, les droites AC et CH ne sont pas parallèles, donc les vecteurs \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{CH} ne sont pas colinéaires.
Donc le vecteur \overrightarrow{u} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan ACH.
Ainsi, d'après le cours, le vecteur \overrightarrow{u} est orthogonal au plan ACH.