On donne les points :
- A (1;1;-2)
- B (0;-1;3)
- C (-1;2;-2 )
Ces points définissent-ils un plan ?
Pour que trois points définissent un plan, ils ne doivent pas être alignés.
Il faut donc calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \cr y_B - y_A \cr z_B - z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-1 \cr -1-1\cr 3+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cr -2 \cr 5 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} x_C - x_A \cr y_C - y_A \cr z_C - z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-1 \cr 2-1\cr -2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \cr 1 \cr 0 \end{pmatrix}
Il est évident que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés.
A, B et C définissent donc un plan.
On rappelle que :
- A (1;1;-2)
- B (0;-1;3)
- C (-1;2;-2 )
Quelle est l'équation cartésienne du plan P_1 auquel appartiennent les points A, B et C ?
Pour déterminer l'équation cartésienne d'un plan, il faut les coordonnées d'un vecteur normal à ce plan.
On nomme P_1 le plan étudié.
Soit \overrightarrow{u} un vecteur normal au plan P_1.
\overrightarrow{u} est orthogonal à \overrightarrow{AB} et à \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{AB} = 0 et \overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{AC} = 0 .
Les coordonnées de \overrightarrow{u} sont donc solution du système :
\left \{ \begin{array}{rcl} -x-2y+5z=0 \\ -2x+y=0\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} z=x \\ y=2x\end{array} \right.
Donc les coordonnées de \overrightarrow{u} sont de la forme \begin{pmatrix} x \cr 2x \cr x \end{pmatrix}.
En prenant x=1, on obtient le vecteur normal \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \cr 1 \end{pmatrix}.
P_1 admet une équation cartésienne de la forme x+2y+z+d=0.
Comme A\in P_1, on obtient :
x_A +2y_A +z_A +d = 0 \Leftrightarrow d= -1
Ainsi, l'équation cartésienne de P_1 est x+2y+z-1=0.
On considère le plan P_2 d'équation cartésienne 2x-3y-z+2=0.
Que peut-on dire des positions relatives des plans P_1 et P_2 ?
P_1 et P_2 ont pour vecteurs normaux respectifs \overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix}1 \cr 2 \cr 1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \: \begin{pmatrix}2 \cr -3 \cr -1 \end{pmatrix} .
Il n'existe pas de réel k tel que \overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v} .
Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires, donc d'après les propriétés du cours, les plans P_1 et P_2 ne sont pas parallèles.
Les plans P_1 et P_2 sont donc sécants.
On considère le plan P_2 dont l'équation cartésienne est 2x-3y-z+2=0.
Que peut-on dire des positions relatives des plans P_1 et P_2 ?
Comme les plans P_1 et P_2 sont sécants, leur intersection forme une droite.
M appartient à cette droite si ses coordonnées (x;y;z) vérifient le système :
\left \{ \begin{array}{rcl} x+2y+z-1=0 \\ 2x-3y-z+2=0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} x+2y+z-1=0 \\ 3x-y+1=0 \end{array} \right. en réalisant l'opération L_2 \leftrightarrow L_2+L_1
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} z=1-x-2y=-7x-1 \\ y=3x+1 \end{array} \right.
En choisissant x comme paramètre, on peut trouver une représentation paramétrique de la droite d'intersection de P_1 et P_2 :
\left \{ \begin{array}{rcl} x=t \\ y=1+3t \\ z=-1-7t \end{array} \right. , t \in \mathbb{R}