Encadrer une intégrale Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

Dans quelle proposition a-t-on correctement établi l'inégalité suivante ?

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} sur \left[ 1;3 \right].

1\leqslant x\leqslant 3

\Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\leqslant \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} car les nombres sont positifs

On a donc, \forall x \in \left[ 1;3 \right], \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}}

On intègre cette inégalité entre 1 et 3 :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = 3 \int_{1}^{3} \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On obtient finalement :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} sur \left[ 1;3 \right].

1\leqslant x\leqslant 3

\Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\leqslant \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} car les nombres sont positifs

On a donc, \forall x \in \left[ 1;3 \right], \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}}

On intègre cette inégalité entre 1 et 3 :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = \int_{1}^{3} \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On obtient finalement :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} sur \left[ 1;3 \right].

1\leqslant x\leqslant 3

\Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\leqslant \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} car les nombres sont positifs

On a donc, \forall x \in \left[ 1;3 \right], \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}}

On intègre cette inégalité entre 1 et 3 :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = \int_{1}^{3} \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On obtient finalement :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} sur \left[ 1;3 \right].

1\leqslant x\leqslant 3

\Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\leqslant \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} car la fonction inverse est strictement croissante.

On a donc, \forall x \in \left[ 1;3 \right], \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}}

On intègre cette inégalité entre 1 et 3 :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = 3 \int_{1}^{3} \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On obtient finalement :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)