Etudier une loi exponentielle Exercice

Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda alors une densité de X est f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}

Ici, X suit une loi exponentielle de paramètre

Ainsi on a :

\forall x\in\left[ 0;+\infty \right[,f\left(x\right)=0{,}125e^{-0{,}125x}

p\left( X\geqslant3 \right)=1-p\left( X\leqslant3 \right)

Or, on a :

p\left( X\leqslant3 \right)=\int_{0}^{3} f\left(x\right) \ \mathrm dx

p\left( X\leqslant3 \right)=\int_{0}^{3} 0{,}125e^{-0{,}125x} \ \mathrm dx

Une primitive de x\longmapsto0{,}125e^{-0{,}125x} sur \left[ 0;+\infty \right[ est x\longmapsto -e^{-0{,}125x}

Ainsi, on obtient :

p\left( X\leqslant3 \right)= \left[ -e^{-0{,}125x}\right]_{0}^{3}

p\left( X\leqslant3 \right)=\left( -e^{-0{,}125\times3} \right)-\left( -e^{-0{,}125\times0} \right)

p\left( X\leqslant3 \right)=-e^{-0{,}375} +e^{0}

p\left( X\leqslant3 \right)=1-e^{-0{,}375}

p\left( X \geqslant3\right) =1-\left(1-e^{-0{,}375}\right)

On sait que, si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda, alors E\left(X\right)=\dfrac{1}{\lambda}

Ici, X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda=0{,}125=\dfrac{1}{8}

On a donc :

E\left(X\right)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{8}}=8