On cherche à résoudre dans \mathbb{Z}^2 l'équation E :
29x+17y =1
Pourquoi peut-on affirmer que cette équation admet au moins un couple d'entiers solution ?
Les entiers 29 et 17 sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Bézout, on en déduit qu'il existe des entiers relatifs x et y tels que :
29x+17y=1
L'équation E admet au moins un couple d'entiers solution.
D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à un couple d'entiers solution de E ?
La division euclidienne de 29 par 17 permet d'écrire :
29 = \textcolor{Red}{17}\times 1 +\textcolor{Red}{12}
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 17 par 12.
17 = \textcolor{Red}{12}\times 1 +\textcolor{Red}{5}
Puis celle de 12 par 5.
12= \textcolor{Red}{5}\times 2 +\textcolor{Red}{2}
Et enfin celle de 5 par 2.
5= \textcolor{Red}{2}\times 2 +\textcolor{Red}{1}
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors trouver une somme d'un multiple de 29 et d'un multiple de 17 égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
5= \textcolor{Red}{2}\times 2 +\textcolor{Red}{1}
Et on isole successivement le reste de chaque division euclidienne.
On a donc :
1=5- 2\times\textcolor{Red}{2}
On remplace ensuite 2 par 12 - 5\times 2, d'après la troisième ligne de l'algorithme :
1=5- 2\times\left(12-5 \times 2\right)
1=5- 2\times12+5 \times 4
1= -2\times12+5 \times \textcolor{Red}{5}
On remplace 5 par 17-12, d'après la deuxième ligne de l'algorithme :
1= -2\times12+5 \times \left(17-12\right)
1= -2\times12+5 \times 17- 5 \times 12
1= 5 \times 17- 7 \times 12
Enfin il ne reste plus qu'à remplacer 12 par 29-17 :
1= 5 \times 17- 7 \times \left(29-17\right)
1= 5 \times 17- 7 \times 29+ 7 \times 17
1= 29 \times \textcolor{Red}{\left(-7\right)} + 17 \times \textcolor{Red}{12}
On en déduit que le couple d'entiers \left(-7 ; 12\right) est solution de E.
Quelle proposition démontre correctement que si \left(x , y\right) est un couple d'entiers solution de E, alors il existe un entier k tel que x= 17k-7 et y = 12-29k ?
Soit \left(x,y\right) un couple solution de E.
On a :
29x+17y = 1
D'après la question précédente:
29\times \left(-7\right) + 17 \times 12 = 1
Donc :
29x+17y = 29 \times \left(-7\right) + 17 \times 12
29x+29 \times 7 = 17 \times 12- 17 \times y
29\left(x+7\right) = 17\left(12- y\right)
On en déduit que 17 divise 29\left(x+7\right).
Or 17 et 29 sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Gauss, on en conclut que 17 divise \left(x+7\right).
Par conséquent, il existe un entier k tel que :
x+7 = 17k
Soit :
x = 17k-7
On remplace cette expression de x dans l'égalité suivante :
29\left(x+7\right) = 17\left(12- y\right)
29\left(17k-7+7\right) = 17\left(12- y\right)
29 \times 17k = 17\left(12- y\right)
29k =12- y
y = 12-29k
Pour conclure, si \left(x , y\right) est un couple d'entiers solution de E, il existe alors un entier k tel que x = 17k-7 et y = 12-29k.
Quelle proposition démontre correctement que s'il existe un entier k tel que : x = 17k-7 et y = 12-29k, alors le couple d'entiers \left(x , y\right) est solution de E ?
On considère deux entiers x et y tels qu'il existe un entier k vérifiant : x = 17k-7 et y = 12-29k.
On calcule alors 29x+17y :
29x+17y = 29 \left(17k-7\right) +17 \left(12-29k\right)
29x+17y = 29 \times 17k-203+204 -17 \times29k
29x+17y = -203+204
29x+17y = 1
Le couple \left(x ; y\right) est bien solution de E.
On en conclut que s'il existe un entier k tel que x = 17k-7 et y = 12-29k, alors le couple d'entiers \left(x , y\right) est solution de E.
Quelles sont les solutions de E dans \mathbb{Z}^2 ?
D'après les questions 3 et 4, on peut conclure :
Les solutions de E sont donc les couples \left(17k -7 ;12-29k\right), k \in \mathbb{Z}.