On cherche à résoudre dans \mathbb{Z}^2 l'équation E :
26x+7y =1
Pourquoi peut-on affirmer que cette équation admet au moins un couple d'entiers solution ?
Les entiers 26 et 7 sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Bézout, on en déduit qu'il existe des entiers relatifs x et y tels que :
26x+7y=1
L'équation E admet au moins un couple d'entiers solution.
D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à un couple d'entiers solution de E ?
La division euclidienne de 26 par 7 permet d'écrire :
26= \textcolor{Red}{7}\times 3 +\textcolor{Red}{5}
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 7 par 5.
7= \textcolor{Red}{5}\times 1 +\textcolor{Red}{2}
Et enfin celle de 5 par 2.
5= \textcolor{Red}{2}\times 2 +\textcolor{Red}{1}
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors trouver une somme d'un multiple de 26 et d'un multiple de 7 égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
5= \textcolor{Red}{2}\times 2 +\textcolor{Red}{1}
Et on isole successivement le reste de chaque division euclidienne.
On a donc :
1=5- 2\times\textcolor{Red}{2}
On remplace ensuite 2 par 7 - 5\times 1, d'après la troisième ligne de l'algorithme :
1=5- 2\times\left(7-5 \times 1\right)
1=5- 2\times7+5 \times 2
1= -2\times7+3\times \textcolor{Red}{5}
On remplace 5 par 26-7\times 3, d'après la deuxième ligne de l'algorithme :
1= -2\times7+3\times \left(26-7\times 3\right)
1= -2\times7+3\times 26-9\times 7
1=\textcolor{Red}{3}\times 26 \textcolor{Red}{-11}\times7
On en déduit que le couple d'entiers \left(3 ; -11\right) est solution de E.
Quelle proposition démontre correctement que si \left(x , y\right) est un couple d'entiers solution de E, alors il existe un entier k tel que x= 3+7k et y = -11-26k ?
Soit \left(x,y\right) un couple solution de E.
On a :
26x+7y = 1
Et, d'après la question précédente :
26\times 3 + 7 \times \left(-11\right) = 1
D'où :
26x+7y = 26 \times 3 + 7 \times \left(-11\right)
26x-26 \times 3 = 7 \times \left(-11\right)- 7 \times y
26\left(x-3\right) = 7\left(- y-11\right)
On en déduit que 7 divise 26\left(x-3\right).
Or 7 et 26 sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Gauss, on en conclut que 7 divise \left(x-3\right).
Par conséquent, il existe un entier k tel que :
x-3= 7k
Soit :
x = 3+7k
On remplace cette expression de x dans l'égaité suivante :
26\left(x-3\right) = 7\left(- y-11\right)
26\left(3+7k-3\right) = 7\left(- y-11\right)
26 \times 7k = 7\left(- y-11\right)
26k =- y-11
y = -11-26k
Pour conclure, si \left(x , y\right) est un couple d'entiers solution de E, il existe alors un entier k tel que x = 3+7k et y = -11-26k.
Quelle proposition démontre correctement que s'il existe un entier k tel que : x = 3+7k et y = -11-26k, alors le couple d'entiers \left(x , y\right) est solution de E ?
On considère deux entiers x et y tels qu'il existe un entier k vérifiant : x = 3+7k et y = -11-26k.
On calcule alors 26x+7y :
26x+7y = 26 \left(3+7k\right) +7 \left(-11-26k\right)
26x+7y = 78+26\times 7k-77 -7\times 26k
26x+7y = 78-77
26x+7y = 1
Le couple \left(x , y\right) est bien solution de E.
On en conclut que s'il existe un entier k tel que x = 3+7k et y = -11-26k, alors le couple d'entiers \left(x , y\right) est solution de E.
Quelles sont les solutions de E dans \mathbb{Z}^2 ?
D'après les questions 3 et 4, on peut conclure :
Les solutions de E sont donc les couples \left(3+7k ;-11-26k\right), k \in \mathbb{Z}.