On cherche à résoudre dans \mathbb{Z}^2 l'équation E :
-13x-31y =1
Pourquoi peut-on affirmer que cette équation admet au moins un couple d'entiers solution ?
Les entiers 13 et 31 sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Bézout, on en déduit qu'il existe des entiers relatifs x et y tels que :
-13x-31y =1
L'équation E admet au moins un couple d'entiers solution.
D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à un couple d'entiers solution de E ?
La division euclidienne de 31 par 13 permet d'écrire :
31 = \textcolor{Red}{13}\times 2 +\textcolor{Red}{5}
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 13 par 5.
13= \textcolor{Red}{5}\times 2 +\textcolor{Red}{3}
Puis celle de 5 par 3 :
5= \textcolor{Red}{3}\times 1 +\textcolor{Red}{2}
Et enfin celle de 3 par 2 :
3= \textcolor{Red}{2}\times 1 +\textcolor{Red}{1}
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors montrer qu'une somme d'un multiple de 31 et d'un multiple de 13 est égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
3= \textcolor{Red}{2}\times 1 +\textcolor{Red}{1}
Et on isole successivement le reste de chaque division euclidienne.
On a donc :
1=3- 1\times\textcolor{Red}{2}
On remplace ensuite 2 par 5 - 3\times 1, d'après la troisième ligne de l'algorithme :
1=3- 1\times\left(5-3 \times 1\right)
1=3- 1\times5+ 3 \times 1
1=-5\times 1 +2\times\textcolor{Red}{3}
On remplace 3 par 13-5\times 2, d'après la deuxième ligne de l'algorithme :
1=-5\times 1 +2\times\left(13-5\times 2\right)
1=2\times 13-5\times \textcolor{Red}{5}
On remplace 5 par 31-13\times 2, d'après la première ligne de l'algorithme :
1=2\times 13-5\times \left(31-13\times 2\right)
1=12\times 13-5\times 31
Soit :
1=-13\times\textcolor{Red}{\left(-12\right)} -31\times\textcolor{Red}{5}
On en déduit que le couple d'entiers \left(-12, 5\right) est solution de E.
Quelle proposition démontre correctement que si \left(x , y\right) est un couple d'entiers solution de E, alors il existe un entier k tel que x=-12-31k et y = 5+13k ?
Soit \left(x,y\right) un couple solution de E.
On a :
-13x-31y = 1
D'après la question précédente, on a :
-13\times\left(-12\right)-31 \times 5 = 1
D'où :
-13x-31y = -13\times\left(-12\right)-31 \times 5
-13x-13\times12= 31y -31 \times 5
13\left(-x-12\right)= 31\left(y-5 \right)
On en déduit que 31 divise 13\left(-x-12\right).
Or 31 et 13 sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Gauss, on en conclut que 31 divise \left(-x-12\right).
Par conséquent, il existe un entier k tel que :
-x-12= 31k
Soit :
x = -12-31k
On remplace cette expression de x dans l'expression suivante :
13\left(-x-12\right)= 31\left(y-5 \right)
13\left(12+31k-12\right)= 31\left(y-5 \right)
13\times 31k = 31\left(y -5\right)
13k= y-5
y = 5+13k
Pour conclure, si \left(x , y\right) est un couple d'entiers solution de E, il existe alors un entier k tel que x = -12-31k et y = 5+13k.
Quelle proposition démontre correctement que s'il existe un entier k tel que : x =-12-31k et y = 5+13k, alors le couple d'entiers \left(x , y\right) est solution de E ?
On considère deux entiers x et y tels qu'il existe un entier k vérifiant : x = -12-31k et y = 5+13k.
On calcule alors -13x-31y :
-13x-31y = -13\left(-12-31k\right) -31 \left(5+13k\right)
-13x-31y = 156 -13\times 31k -155 -31 \times 13k
-13x-31y = 156 -155
-13x-31y = 1
Le couple \left(x , y\right) est bien solution de E.
On en conclut que s'il existe un entier k tel que x = -12-31k et y = 5+13k, alors le couple d'entiers \left(x , y\right) est solution de E.
Quelles sont les solutions de E dans \mathbb{Z}^2 ?
D'après les questions 3 et 4, on peut conclure :
Les solutions de E sont donc les couples \left(-12-31k ,5+13k\right), k \in \mathbb{Z}.