On cherche à résoudre dans \mathbb{Z}^2 l'équation E :
19x-9y =1
Pourquoi peut-on affirmer que cette équation admet au moins un couple d'entiers solution ?
Les entiers 9 et 19 sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Bézout, on en déduit qu'il existe des entiers relatifs x et y tels que :
19x-9y =1
L'équation E admet au moins un couple d'entiers solution.
D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à un couple d'entiers solution de E ?
La division euclidienne de 19 par 9 permet d'écrire :
19= \textcolor{Red}{9}\times 2 +\textcolor{Red}{1}
En utilisant la division euclidienne de 19 par 9, on peut alors montrer qu'une somme d'un multiple de 19 et d'un multiple de 9 est égale à 1.
1= 19\times\textcolor{Red}{1} -9\times \textcolor{Red}{2}
On en déduit que le couple d'entiers \left(1, 2\right) est solution de E.
Quelle proposition démontre correctement que si \left(x , y\right) est un couple d'entiers solution de E, alors il existe un entier k tel que x=1+9k et y = 2+19k ?
Soit \left(x,y\right) un couple solution de E.
On a :
19x-9y = 1
D'après la question précédente, on a :
19\times1-9 \times 2 = 1
D'où :
19x-9y = 19\times 1 -9 \times 2
19x-19\times 1 = 9y -9 \times 2
19\left(x-1\right) = 9\left(y -2\right)
On en déduit que 9 divise 19\left(x-1\right).
Or 9 et 19 sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Gauss, on en conclut que 9 divise \left(x-1\right).
Par conséquent, il existe un entier k tel que :
x-1= 9k
Soit :
x = 1+9k
On remplace cette expression de x dans l'expression suivante :
19\left(x-1\right) = 9\left(y -2\right)
19\left(1+9k-1\right) = 9\left(y -2\right)
19\times 9k = 9\left(y -2\right)
19k = y-2
y = 2+19k
Pour conclure, si \left(x , y\right) est un couple d'entiers solution de E, il existe alors un entier k tel que x = 1+9k et y = 2+19k.
Quelle proposition démontre correctement que s'il existe un entier k tel que : x = 1+9k et y = 2+19k, alors le couple d'entiers \left(x , y\right) est solution de E ?
On considère deux entiers x et y tels qu'il existe un entier k vérifiant : x = 1+9k et y = 2+19k.
On calcule alors 19x-9y :
19x-9y = 19\left(1+9k\right) -9 \left(2+19k\right)
19x-9y = 19+19\times9k-18 - 9\times19k
19x-9y = 19-18
19x-9y = 1
Le couple \left(x , y\right) est bien solution de E.
On en conclut que s'il existe un entier k tel que x = 1+9k et y = 2+19k, alors le couple d'entiers \left(x , y\right) est solution de E.
Quelles sont les solutions de E dans \mathbb{Z}^2 ?
D'après les questions 3 et 4, on peut conclure :
Les solutions de E sont donc les couples \left(1+9k ;2+19k\right), k \in \mathbb{Z}.