On cherche à résoudre dans \mathbb{Z}^2 l'équation E :
8x+21y =1
Pourquoi peut-on affirmer que cette équation admet au moins un couple d'entiers solution ?
Les entiers 8 et 21 sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Bézout, on en déduit qu'il existe des entiers relatifs x et y tels que :
8x+21y =1
L'équation E admet au moins un couple d'entiers solution.
D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à un couple d'entiers solution de E ?
La division euclidienne de 21 par 8 permet d'écrire :
21 = \textcolor{Red}{8}\times 2 +\textcolor{Red}{5}
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 8 par 5.
8= \textcolor{Red}{5}\times 1 +\textcolor{Red}{3}
Puis celle de 5 par 3 :
5= \textcolor{Red}{3}\times 1 +\textcolor{Red}{2}
Et enfin celle de 3 par 2 :
3= \textcolor{Red}{2}\times 1 +\textcolor{Red}{1}
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors montrer qu'une somme d'un multiple de 21 et d'un multiple de 8 est égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
3= \textcolor{Red}{2}\times 1 +\textcolor{Red}{1}
Et on isole successivement le reste de chaque division euclidienne.
On a donc :
1=3- 1\times\textcolor{Red}{2}
On remplace ensuite 2 par 5 - 3\times 1, d'après la troisième ligne de l'algorithme :
1=3- 1\times\left(5-3 \times 1\right)
1=3- 1\times5+ 3 \times 1
1=-5\times 1 +2\times\textcolor{Red}{3}
On remplace 3 par 8-5\times 1, d'après la deuxième ligne de l'algorithme :
1=-5\times 1 +2\times\left(8-5\times 1\right)
1=2\times8-3\times \textcolor{Red}{5}
On remplace 5 par 21-8\times 2, d'après la première ligne de l'algorithme :
1=2\times8-3\times \left(21-8\times 2\right)
1=8\times8-3\times 21
On en déduit que le couple d'entiers \left(8; -3\right) est solution de E.
Quelle proposition démontre correctement que si \left(x , y\right) est un couple d'entiers solution de E, alors il existe un entier k tel que x=8+21k et y = -3-8k ?
Soit \left(x,y\right) un couple solution de E.
On a :
8x+21y = 1
Or, d'après la question précédente :
8\times 8 + 21 \times \left(-3\right) = 1
D'où :
8x+21y = 8\times 8 + 21 \times \left(-3\right)
8x-8\times 8 = -21y+ 21 \times \left(-3\right)
8\left(x-8\right) = 21\left(-3-y\right)
On en déduit que 21 divise 8\left(x-8\right).
Or 8 et 21 sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Gauss, on en conclut que 21 divise \left(x-8\right).
Par conséquent, il existe un entier k tel que :
x-8= 21k
Soit :
x = 8+21k
On remplace cette expression de x dans l'égalité suivante :
8\left(x-8\right) = 21\left(-3-y\right)
8\left(8+21k-8\right) = 21\left(-3-y\right)
8\times 21k = 21\left(-3-y\right)
8k = -3-y
y = -3-8k
Pour conclure, si \left(x , y\right) est un couple d'entiers solution de E, il existe alors un entier k tel que x = 8+21k et y = -3-8k.
Quelle proposition démontre correctement que s'il existe un entier k tel que : x = 8+21k et y = -3-8k, alors le couple d'entiers \left(x , y\right) est solution de E ?
On considère deux entiers x et y tels qu'il existe un entier k vérifiant : x = 8+21k et y = -3-8k.
On calcule alors 8x+21y :
8x+21y = 8\left(8+21k\right) +21 \left(-3-8k\right)
8x+21y = 64 +8\times21k -63 -21\times 8k
8x+21y = 64 -63
8x+21y = 1
Le couple \left(x , y\right) est bien solution de E.
On en conclut que s'il existe un entier k tel que x = 8+21k et y = -3-8k, alors le couple d'entiers \left(x , y\right) est solution de E.
Quelles sont les solutions de E dans \mathbb{Z}^2 ?
D'après les questions 3 et 4, on peut conclure :
Les solutions de E sont donc les couples \left(8+21k ,-3-8k\right), k \in \mathbb{Z}.