On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :
\left(E\right) : 75x-21y= 3
On sait que le couple \left(2;7\right) est solution de l'équation.
Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 25\left(x-2\right)=7\left(y-7\right) ?
Supposons que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a alors 75x-21y=3
On remarque que cette équation est équivalente à 25x-7y=1 en divisant par trois.
On sait également que 25\times 2 -7\times 7 = 1
Donc par soustraction membre à membre on obtient :
25x-25\times 2-7y+7\times7 = 1-1
Soit :
25\left(x-2\right)-7\left(y-7\right) = 0
Ce qui donne :
25\left(x-2\right)= 7\left(y-7\right)
On obtient l'implication cherchée :
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 25\left(x-2\right)= 7\left(y-7\right) .
Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x =2+7k et y=7+25k ?
On suppose que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a :
- 25\left(x-2\right)= 7\left(y-7\right)
- \left(x-2\right) et \left(y-7\right) sont des entiers.
Alors on a :
25 divise 7\left(y-7\right)
D'après le théorème de Gauss si a, b et c sont des entiers tels que a divise le produit bc et a est premier avec b alors a divise c.
Donc, comme 25 est premier avec 7, 25 divise \left(y-7\right).
Ainsi, il existe un entier relatif k tel que 25k= y-7
On en déduit que :
y = 7+25k
On peut finalement remplacer cette expression de y dans l'égalité suivante :
25\left(x-2\right)= 7\left(y-7\right)
\Leftrightarrow 25\left(x-2\right)= 7\left(7+25k-7\right)
\Leftrightarrow 25\left(x-2\right)= 7\times 25k
\Leftrightarrow x-2= 7k
\Leftrightarrow x= 2+7k
Ce qui donne bien :
- x= 2+7k
- y = 7+25k
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right), alors il existe un entier k tel que x= 2+7k et y = 7+25k.
Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?
Réciproquement, on vérifie que les couples \left(2+7k; 7+25k\right) sont solutions de \left(E\right) en remplaçant dans l'équation :
25\left(2+7k\right) -7\left(7+25k\right) = 50+25\times 7k-49-7\times 25k= 1
Les couples \left(2+7k; 7+25k\right) sont bien solutions de \left(E\right).
Les couples solutions de \left(E\right) sont les couples de la forme \left(2+7k; 7+25k\right) avec k \in \mathbb{Z}.