On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :
\left(E\right) : 7x +9y = 1
On sait que le couple \left(4 ; -3\right) est solution de l'équation.
Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 7\left(x-4 \right) = 9\left(-y-3\right) ?
Supposons que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a alors 7x +9y = 1
On sait également que 7 \times 4 +9 \times \left(-3\right) = 1
Donc par soustraction membre à membre on obtient :
7x-7\times 4+9y +9\times 3 = 1-1
Soit :
7\left(x-4\right)+ 9\left(y+3\right) = 0
Ce qui donne :
7\left(x-4\right)= 9\left(-y-3\right)
On obtient l'implication cherchée :
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 7\left(x-4\right)= 9\left(-y-3\right)
Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x = 4+9 k et y=-3-7k ?
On suppose que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a :
- 7\left(x-4\right)= 9\left(-y-3\right)
- \left(x-4\right) et \left(-y -3\right) sont des entiers
Alors on a :
7 divise 9\left(-y-3\right)
D'après le théorème de Gauss si a, b et c sont des entiers tels que a divise le produit bc et a est premier avec b alors a divise c.
Donc, comme 7 est premier avec 9, 7 divise \left(-y-3\right).
Ainsi, il existe un entier relatif k tel que 7k = -y-3
On en déduit que :
y = -3-7k
On peut finalement remplacer cette expression de y dans l'égalité suivante :
7\left(x-4\right)= 9\left(-y-3\right)
\Leftrightarrow 7\left(x-4\right)= 9\left(-\left(-3-7k\right)-3\right)
\Leftrightarrow 7\left(x-4\right)= 9\left(3+7k-3\right)
\Leftrightarrow 7\left(x-4\right)= 9\times 7k
\Leftrightarrow x-4= 9k
\Leftrightarrow x= 4+9k
Ce qui donne bien :
- x= 4+9k
- y = -3 -7k
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right), alors il existe un entier k tel que x = -4+9 k et y=-3-7k
Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?
Réciproquement, on vérifie que les couples \left(4+9k ; -3-7k\right) sont solutions de \left(E\right) en remplaçant dans l'équation :
7\left(4+9k\right) +9 \left(-3-7k\right) = 28 +63 k -27 -63 k = 1
Les couples \left(4+9k ; -3-7k\right) sont bien solutions de \left(E\right).
Les couples solutions de \left(E\right) sont les couples de la forme \left(4+9k ; -3-7k\right) avec k \in \mathbb{Z}.